例析寻求函数零点所在区间端点的思维途径

广东省佛山市南海区狮山石门高级中学(528225) 徐正印

函数零点问题在近四年高考数学的解答题中连续出现.题目设问方式一般有两种，一种是根据零点的个数求参数的取值范围;另一种是讨论函数零点的个数.无论是哪种，都需要借助“零点存在定理”，把问题转化为寻求在某个单调区间的存在两个不等的x1、x2，使得它们对应的函数值异号，即寻求函数零点所在区间端点.通常，函数零点所在区间的一个端点容易找到，但另一个端点却很难找.官方提供的答案简直是天外来客，考生感叹做梦也想不到!

为此，本文以近年高考试题为例，阐述寻求函数零点存在区间端点的思维途径，以帮助读者突破难点.

题型一、求函数有两个零点时参数的取值范围

这类题目一般先讨论函数的单调性，再利用函数的单调性与函数有两个零点求参数的取值范围.限于篇幅，不详细讨论函数的单调性，只研究函数的零点问题，特别是如何寻求函数零点存在区间端点.

例1(2017年新课标I 卷理科第21 题) 已知函数f(x)=ae2x+(a-2)ex-x.

(I)讨论f(x)的单调性;

(II)若f(x)有两个零点，求a 的取值范围.

分析(I)(i)当a ≤0 时，在(-∞,+∞)上，f(x)单调递减.

(II)由(I)知： (i)当a ≤0 时，f(x)在(-∞,+∞)上单调递减，f(x)最多有一个零点.

当a ≥1 时，fmin(x) ≥0(当且仅当x = 0 时等号成立)，f(x)最多有一个零点.

综上所述，a 的取值范围为(0,1).

难点突破因为0 ＜a ＜1 时， f(x) 在上单调递增，所以， 证明“当0 ＜a ＜1时， f(x) 在上有且只有一个零点”的关键就是寻求f(x0) ＞ 0 且考虑到f(x) =aex(ex+1) - 2ex- x， x0可能与有关， 自然想到检验而不能确定其值为正值; 于是检验而就是x0的一个值.其中是利用不等式x-ln x ＞0.

例2(2016年新课标I 卷文科) 已知函数f(x) =(x-2)ex+a(x-1)2.

(I)讨论f(x)的单调性;

(II)若f(x)有两个零点，求a 的取值范围.

分析(I)(1)当a ≥0 时，在(-∞,1)上，f(x)单调递减;在(1,+∞)上，f(x)单调递增.

(4)当a=0 时，f(x)=(x-2)ex只有一个零点.

(5)当a ＞0 时，在(1,+∞)上，f(x)单调递增，f(1) =-e，f(2)=a ＞0，f(x)在(1,+∞)上有且只有一个零点.

(i)当a ≥2 时， 在(-∞,1)上， f(x)单调递减， f(1) =-e，f(0)=-2+a ≥0，f(x)在(-∞,1)上有且只有一个零点，f(x)在(-∞,+∞)上有且只有两个零点.

(ii) 当0 ＜ a ＜ 2 时， 在(-∞,1) 上， f(x) 单调递减，f(x) 在(-∞,1)上有且只有一个零点，f(x)在(-∞,+∞)上有且只有两个零点.

综上所述，a 的取值范围为(0,+∞).

难点突破因为当a ＞0 时，f(x)在(-∞,1)单调递减，f(1) ＜0， 所以证明“当a ＞0 时， f(x)在(-∞,1)上有且只有一个零点”的关键就是寻求f(x0) ＞0 且x0＜1.考虑到f(x) = (x-2)ex+a(x-1)2，首先想到检验f(0)，而f(0) = -2+a， 可见当a ≥2 时， 0 就是x0的一个值.当0 ＜a ＜2 时，f(0)＜0，可见0 不是x0的值，x0的值应该是负值.考虑到于是想到检验而

例3(2014年高考山东卷理科第20 题) 函数f(x) =是自然对数的底数，k 为常数，

(I)当k ≤0 时，求函数f(x)的单调区间;

(II)若函数f(x)在(0,2)内存在两个极值点，求k 的取值范围.

分析(I) 当k ≤0 时， 在(0,2) 上， f(x) 单调递减; 在(2,+∞)上，f(x)单调递增.

(II)(1)由(I)知： 当k ≤0 时，在(0,2)上，f(x)单调递减，f(x)没有极值点.

(2)当k ＞0 时，

题型二、讨论函数零点的个数

这类题目一般要先对所给的变形(分离常数或参数)，提取具有单调性的一个简单的函数，再讨论新函数的的函数的单调性，利用新函数的单调性与零点存在定理确定函数零点的个数.

例4(2015年新课标I 卷文科第21 题) 设函数f(x)=e2x-a ln x.

(I)讨论f(x)的导函数f′(x)的零点的个数;

解(I)f′(x)=

(1)当a ≤0 时，在(0,+∞)上，f′(x) ＞2，f′(x)没有零点.

综上所述，当a ＜0 时，f′(x)零点的个数为0;当a ＞0，f′(x)的零点个数为1.

(II)略.

难点突破因为当a ＞0 时，g(x)在(0,+∞)上单调递增，g(a) ＞0，所以证明“当a ＞0 时，g(x)在(0,+∞)上有且只有一个零点”的关键就是寻求g(x0)＜0 且0 ＜x0＜a.考虑到自然想到检验不够小;想到检验当0 ＜a ≤1 时，就是x0的一个值.当a ＞1 时，不能确定其为负值;不是x0的一个值.就是x0的一个值.

例5(2018 新课标II 卷文科第21 题) 已知函数

(I)若a=3，求f(x)的单调区间;

(II)求证： f(x)只有一个零点.

解(I)略;(II)因为

所以

在ℝ 上， g′(x) ＞ 0， g(x) 单调递增， g(x) 最多有一个零点.

g(x)只有一个零点.

难点突破因为g(x)在ℝ 上单调递减，所以证明“g(x)只有一个零点”的关键就是寻求g(x1)＞0 且g(x2)＜0，其中x1x2.

自然想到检验 g(3a + 1)， 而 g(3a + 1)=就是x1的一个值.因为g(x) 在ℝ 上单调递增， 所以x2＜ 3a + 1，自然想到检验g(3a)， 而不能确定其值为负值， 说明3a 不够小， 于是检验g(3a-1)，而g(3a-1) =就是x2的一个值.

另外，本题容易误导考生这样思考： f′(x)=x2-2axa=(x-a)2-a(a+1)，

(i)当a(a+1) ≤0 时，在ℝ 上，f′(x) ≥0，f(x)单调递增，f(x)最多有一个零点，问题转化为证明f(x)在零点区间的端点.

让考生陷于繁杂的运算，欲罢不能!

例6(2018年新课标II 卷理科第21 题) 已知函数f(x)=ex-ax2.

(I)若a=1，求证： 当x ≥0 时，f(x)≥1;

(II)若f(x)在(0,+∞)上只有一个零点，求az.

解(I)略;(II)f(x)=ex设(x ∈ℝ)， 则f(x) 在(0,+∞) 上只有一个零点⇔g(x) 在(0,+∞)上只有一个零点.

(1)当a ≤0 时，g(x)≥1，g(x)在(0,+∞)上没有零点.

由(I) 知： 当x ＞0 时， ex＞x2+ 1， 4a ＞e2＞5，在(2,+∞) 上有且只有一个零点.g(x)在(0,+∞)上有且只有两个零点.

难点突破因为当时，g(x)在(2,+∞)单调递增， g(2) ＜0， 所以证明“当时， g(x)在(2,+∞)上有且只有一个零点”的关键是寻求g(x0) ＞0 且x0＞2.说明要找的x0可能与a 有关.考虑到想到检验g(2a)，而不能确定其值为正值， 2a 不够大; 又想到检验g(4a)，4a 就是x0的一个值.