对2019年广州一模理科数学第18 题的探究

广东省佛山市顺德区第一中学(528300) 常艳

广东省佛山市罗定邦中学(528300) 龙宇

2019年广州一模考试理科数学第18 题，题干简练，背景丰富.是一道难得的好题，然而在我校高三年级的测验中，本题的得分率非常低.难点主要集中在平面几何关系的转换，即二面角的大小及BD 边长的利用.另一个难点在于学生已经习惯了利用空间向量进行求解，而本题直接建系也较为困难.

接下来，本文从传统几何法及空间向量法对该问题进行求解，并对其命制背景进行了深入的探究，发现该问题可视为2018年全国2 卷立体几何解答题的变形形式.

一、题目

如图1，在三棱锥A-BCD中， △ABC 是等边三角形，∠BAD =∠BCD =90°，点P 是AC 的中点，连接BP,DP.

图1

(1)证明： 平面ACD⊥平面BDP;

分析本题属于逆向求解问题，已知线段长及二面角，求线面角的大小.本题有两种解题思路进行求解： 传统几何法以及空间向量法.

二、解法探究

对于第(1)问，考察面面垂直，难度不大.现将其主要思路简述如下： AC⊥BP，AC⊥DP.所以AC⊥面BDP，平面ACD⊥平面BDP.

关于第二问，现从如下两个角度求解.

图2

准备工作： 如图2，过点A 做AE⊥BD， 垂足为E， 连接CE.易得： Rt△BAD ∼= Rt△BCD，所以CE⊥BD.所以∠AEC 是二面角A-BD -C 的平面角.由题意得： ∠AEC = 120°.设AB = m， AD = n， 则有m2+ n2= 6， 利用等面积法得：所以再由△ABC 是等边三角形得AB = AC， 即该结论也可通过射影定理获得.

(一)传统几何法1

过点A 做平面BCD 的垂线， 垂足为H， 连接AH 与DH， ∠ADH 为直线AD 与平面BCD 所成的角， 所以接下来， 只需求出AH 的值即可.

由上面的准备工作可知，BD⊥面AEC， 如图3， 过点A做CE 的垂线， 垂足为H， 根据三垂线定理， AH⊥平面BCD.由∠AEC = 120°， 得∠AEH =即可得： AH = AE·sin ∠AEH =1.带入上面的分析过程即可得： 直线AD 与平面BCD 所成角的正弦值为

图3

(二)传统几何法2——等体积法

根据上面的解法可知，问题的关键在于求解点A 到平面BCD 的距离.由此我们联想到等体积法.等体积法需要从不同的角度求解该几何体的体积.受第(1)问的提示，AC⊥面BDP，可以以面BDP 为底，AC 为“高”求解.具体如下：

(三)空间向量法

利用空间向量求解的关键在于坐标系的选择，受第(1)问的提示，Rt△BAD ∼=Rt△BCD，可以选择点C 在BD 上的垂足E 为原点进行建系.具体如图4，以E为原点，分别为x 轴，y 轴的正方向，与都垂直的方向为z 轴.

图4

除了在该点建系外，还有很多可以进行建系的点.本文不再赘述.

(四)空间向量法2

对于利用空间向量法解立体几何问题，最大的难点在于坐标系的选择与建立.而本题没有可以“直接”建系的点.根据空间向量的基本定理，选择任意三个不共面的向量作为基底，空间中的任意一个向量都可以由这一组基底表示，且表示方法唯一.而我们常用的空间向量的本质则是选择了一组正交向量作为基底.既然本题建系较为困难，接下来本文介绍一下利用一般的基底计算该问题.

该解法的优势在于避免了建系，而增加了运算量.

三、命制背景探究

该问题最大的难点在于图形的识别与理解，如图，我们将边AC 去掉， 将面ABD 旋转至与面BCD 同一平面内.根据前面的准备工作可知，四边形ABCD 是一个“筝形”.

图5

利用模型思维思考，面ABD 在旋转的过程中形成了一个“圆锥”[1].该问题则转化为圆锥的母线与圆锥的某一轴截面的夹角问题.由此我们得到如下更本质的图形： 如图5，圆锥OP 的母线为l， 底面圆的半径为r.设该圆锥的轴截面为PAB，将平面PAO 绕轴PO 旋转至面PA′O，使得二面角A′-PO-B 为α，设母线PA′与面PAB 的夹角为θ，易得对应到上面的数据可得：带入公式即有：

图6

为此，我们可知本题和2018年全国2 卷的立体几何解答题[2]的背景一样.现将该问题简述如下：

题目(2018年全国II 卷第20题) 如图6， 在三棱锥P - ABC 中，PA = PB =PC = AC = 4，O 为AC 的中点.(1)证明： PO⊥平面ABC;(2)若点M 在棱BC 上，且二面角M -PA-C 为30°，求PC 与平面PAM 所成角的正弦值.

图7

其一般形式如下： 如图7， 设圆锥OP 的底面半径为r， 母线长为l.过轴截面△PAB 一边PA的平面PAC 与轴截面PAB 的夹角为θ (θ ∈(0,90°))， 直线PB 与平面PAC 所成角为β， 则有sin设轴截面PAB 的顶角∠APB 为α， 上述关系可简化为：sin β =sin α·sin θ[2].

对比图5 及图7 可知两题的背景一致，只是设问的角度不同而已.可能本次广一模的命题专家就是参考该高考题进行的命制，而且数据方面进行了简化，体现了命题者的人文关怀.为了更加深入地理解上面的模型，基于上面的分析，笔者编制了如下变式供读者练习：

变式1在矩形ABCD 中，将三角形ABD 绕轴BD 旋转至面A′BD 使得二面角A′-BD-C为60°，求A′B 与面BCD 所成角的正弦值.

变式2如图8， 在三棱锥A - BCD 中， AB = CD = 1，求AB 与面BCD 所成角的正弦值.

图8

四、教学建议

在学生的答卷上，普遍反应出建系的错误.甚至有很多学生在考场上意识到自己建系有误，但依然在此基础进行求解.这反应了学生的一种侥幸心理，也体现出学生的临场应变能力不足及对于传统几何法的陌生.

对于“立体几何”的复习，要强化模型思维，例如将原问题置于“圆锥”中时，其立体几何关系将更加明显.本题的另一大难点在于平面几何关系的转化，即通过已知条件求得相应的边角关系.在复习的过程中，要强化三角形相似、射影定理等平面几何的相关结论.

目前的高考解答题中，几何法及向量法都可以使用.其中建系的本质在于空间向量基本定理，选择不正交的“基底”同样可以求解，优势在于简化了建系的步骤，劣势在于运算量增大.利用一般的基底求解能让学生更好的理解空间向量基本定理.首先要帮助学生树立信心，利用向量法一定可解，对于不好建系的图形即可考虑一般的“基底”进行运算.

在教学的过程中，不要固化某种方法，形成思维定势.要教会学生识别模型，理解本质.作为教师要常做并研究高考题，从中提炼出问题的本质供学生学习.