高中文科生如何突破三角函数之瓶颈
2019-07-10訚刚
訚 刚
三角函数这部分内容是高中数学的传统内容,是高考的重点,也是高考的热点。三角函数的问题一般都为基础题,对于文科生来说三角函数这部分内容在高考中是得分点。因此控制教学难度、深度和广度,做好教学策略,对文科生数学高考成绩提高有着至关重要的作用。纵观全国卷近五年高考数学(文科)试卷中三角函数试题分析,三角函数的试题是一个小题和一个解答题或者直接是两三道小题。小题属常规题型,解答题都在解答题第一题的位置,分值共20分左右。三角函数的问题属中等或容易,试题难度不大,易出现课本中的题型。在高考中,三角函数问题相对文科生来讲是得分的知识点。本文着重分析文科生在三角函数知识的学习上存在的障碍,并结合实践提出的教学对策。
一、降低教学难度,控制教学广度
根据新课程标准和高考大纲的要求,做好教学策略。高考考试大纲的说明:1、了解任意角的概念、弧度制;2、了解弧度制的概念,能进行弧度与角度的互化;3、理解任意角三角函数的定义;4、能利用单位圆中的三角函数线推导出的正弦、余弦、正切的诱导公式,能画出y=sinx,y=cosx,y=tanx 的图像,了解三角函数的周期性;5、理解正弦函数、余弦函数在区间[0,2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值以及与x 轴的交点等)。理解正切函数在区间内的单调性;6、理解同角三角函数的基本关系式:sin2x+cos2x==tanx;7、了解函数y=A sin(ωx+φ)的物理意义;能画出y=A sin(ωx+φ)的图像,了解参数A,ω,φ对函数图像变化的影响;8、了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型,会用三角函数解决一些简单实际问题。在新课标的要求中三角函数很多知识做了删减,难度也降低了。教学内容的变化:1、六个三角函数名,只保留正弦、余弦和正切三个;2、同角三角函数的基本关系式只限于两个,少了一个tan α ⋅cot α=1;3、原教材中已知三角函数值求角在新教材中已消失;4、删除了角的反三角函数表示;5、增设了三角函数模型的简单应用;6、在例题和习题中削弱了复杂的三角恒等变换。
在这种背景下,教师降低教学难度,对于文科生更是要抓好基础题目。因为高考三角试题的生长点多出现在课本上,因而教师一定要高度重视课本,并且善于挖掘课本。充分发挥教材中典型例题和习题的作用,从教材中挑选出比较典型的例题、习题,并能让学生以课外作业的形式把它们做一遍的话,那一定会受益匪浅。
同时教师也要控制好教学广度,不要随意拓宽知识点,使学生学习的难度加大。例如教材对函数y=A sin(ωx+φ)的要求是A>0,包括例题和练习题中都是A>0。因此教师没必要拓宽到A<0 的情况,讲解有关A<0 的练习题。
二、做好概念教学
要建立任意角三角函数概念,角的概念先扩大,角的表示(过程的):正角、零角、负角,象限角,与角α 终边相同的角,{β=α+k ⋅360°,k ∈Z} 到{β=α+2kπ,k ∈Z} 学生对角的概念的重新组织,整理成角度换成弧度的形式才更适宜后面内容的学习。
对文科生来讲任意角三角函数的概念是抽象度很高的概念。任意角三角函数概念的教学设计,可以在学生组织起锐角三角函数的概念,例如计算方法、定义域、值域、符号表示、有关结论(与点的位置的选取无关)后,首先提供“坐标系”作为脚手架,并引发学生的认知冲突—“在坐标系下,如何研究一个任意角的三角函数?”并以坐标系为平台,有层次的研究随角的变化,即第一象限下的锐角(认识研究方法的变化,以及符号表示的变化)到0-2π 范围内的角(认识该范围内角的三角函数的表示方法,特别是值域的变化),不同象限下终边相同的角(逐渐形成计算一个任意角的三角函数的操作过程)。
三、强化公式的记忆
在学三角函数这部分内容时,很多学生反应公式记不住。即便是老师把公式推导过程讲的很详细很细致,文科生也很难通过理解的方法记住公式,甚至很多文科生连0°-90°范围内特殊角三角函数值都没记住。公式、特殊角三角函数值都没记住的话,无论考试出什么样的题目,文科生都做不了,就好比一个工人手上没有工具,他怎么去工作。所以记住公式是解三角函数问题的前提。
针对文科生基础知识薄弱的情况,老师大可不必要求他们从理解的角度去记忆公式,可以要求他们直接记。当然在记的过程中可以找特点,找规律。例如:六个诱导公式,我们可以总结成简单的一句话“奇变偶不变,符号看象限”。“奇变偶不变”表示的是看三角函数中的角度是的奇数倍还是偶数倍,如果是奇数倍,三角的名称就变,正弦变余弦,余弦变正弦;如果是偶数倍,则三角名称不变,之后有个符号看象限,看看所要求的三角值在哪个象限,遵循“一全正,二正弦,三正切,四余弦”,判断三角函数的符号,理解性的记忆诱导公式,而不是死记硬背。
【例1】化简
分析:对于诱导公式的化简,我们只需要遵循奇变偶不变,符号看象限的原则逐个分析即可。sin(4π-α)我们先看前面的角度4π 是的8倍,那么8是个偶数,所以之前的三角名称不变,还是sin,又因为4π-α 在第四象限,而第四象限的正弦为负数,所以前面添负号,这样就能完成一个诱导公式的化简
四、讲练结合式教学
数学《新课程标准》中指出:教师应激发学生的学习积极性,向学生提供充分从事数学活动的机会,帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法,获得广泛的数学活动经验。
因此对于三角函数这一章的教学,老师应该注重讲练结合式数学教学,老师在讲解要详略得当,所给练习要紧扣新课标的要求,讲和练要密切配合,重视调动学生动脑、动口、动手,使学生切身体会三角函数中公式的应用以及三角函数值的计算等问题,激发学生的兴趣,使学生的求知欲、表现欲等特点得以释放。同时在讲练结合式教学中,通过学生的练可以强化对公式的记忆。
五、培养学生的数学思维
华罗庚先生曾指出:“数缺形时少直观,形少数时难入微;数形结合百般好,隔裂分家万事非。”数形结合是中学数学中四种基本思想方法之一,是数学的本质特征。在解决数学问题时,将抽象的数学语言同直观的图形相结合,实现抽象的概念与具体形象的联系和转化,是高中数学教学中的一条重要的数学原则。而转化与化归的思想方法则是将一些题目自身去进行改造,使它变为与我们熟悉的题目,而且我们还可以通过转化后形成一定的套路,按照一样的方法去做就可以完成,这也是学生容易接受的一种思想方法。在三角函数中存在很多问题都可以将化归思想和数形结合思想联系在一起的。
(1)求ω 的值及函数f(x)的值域;
(2)求函数f(x)的单调区间.
分析:此三角图形题,结论要求ω 的值以及函数的值域,首先必须通过化归的思想方法将三角函数华为只含有一个三角的形式,然后通过图像求解析式得出其中的ω,充分体现了化归与数形结合的思想方法。这也是高考考查的重点和难点所在。
又由于正三角形ABC 的高为2 3,则BC=4
这例子就反应出数形结合思想和化归思想方法在三角函数这章的学习有着很重要的意义。而文科生在数形结合和化归这个思想方法这方面很欠缺的。因此老师有必要耐心帮助文科生培养数形结合和化归的数学思想。首先老师要教会学生画图,教会“五点画图法”。可能刚开始他们连描点都不会,但作为老师不能急,一点一点来,反复教反复练,直到会用“五点画图法”画出三角函数在某一区间上的简图。这样就会为三角函数后面的学习开个好头。其次要求学生多看图、观察图。提出问题让学生从图像中找答案,可能第一次不行,那老师要鼓励加提示多来几次,慢慢的他们就会提高看图的能力了。帮助文科生建立起数形结合的数学思想,不仅对于三角函数的学习有好处,而且对于学好高中数学都有着很大的帮助。
六、注重三角函数与其他知识的相互融合
三角函数可以与其他知识形成密切的融合,可以将三角函数与我们的物理知识很好的融合起来,实现物理与数学的结合。在高中数学中,三角函数可以与向量,数列,不等式等知识点联合起来,运用三角函数以外的知识点来解决三角的实际问题。例如三角函数与平面的向量的综合主要体现为交汇型,交汇性主要体现在:三角函数恒等变换公式、性质与图象与平面的向量的数量积及平面向量的平行、垂直、夹角及模之间都有着不同程度的交汇,在高考中也是一个热点.
【例3】已知向量m=(cosx,sinx),n(2 2 +sinx,2 2 -cosx),函数f(x)=m⋅n,x ∈R
(1)求函数f(x)的最大值
分析:此题的关键是要先求出函数的解析式,只有求出了解析式,才能运用化归思想转化成只含有一个三角名称的解析式,继而求出最大值。而第2 问中就要进行转化,将转化为前面有的角度去求
所以f(x)的最大值为4
总之,三角函数的学习,特别是对文科生来说至关重要。文科生掌握了三角函数的学习和练习,相信在高考中得到三角函数的分数应该不成问题,我们相信经过广大老师和文科生的共同努力,三角函数必将成为文科生打通高考成绩制胜之路的法宝。