例谈解析几何主元选取和背景挖掘

魏建华

[摘  要] 在2018年的全国卷理科解析几何大题的讲解中，逐层地选取不同的主元进行求解，同时对问题追根溯源，并简单运用共轭极点理论解决这类型问题.

[关键词] 解析几何;主元选取;背景挖掘;共轭极点

解析几何问题的求解方法综合，思维发散，联系和应用不同板块的知识可得到不同的逻辑线索，从而选定不同主元（主要变量，其他变量为中间变量）进行求解. 经典解析几何问题，往往蕴含着深刻的背景，我们需要对其进行深度剖析，以对圆锥曲线性质有更深刻的认识. 下面就全国Ⅰ卷理科第19题联系不同板块知识给出四种主元选取角度及对命题背景做深度挖掘和简单运用.

作图1，本题就两个主要几何关系，A，B在过点F的直线上和在椭圆上. 一个是线性关系，一个是非线性关系. 因为直线l与x轴重合或垂直时，结论显然，下面不再赘述. 当直线l与x轴不重合或垂直时，自然从线性关系入手，联系直线方程相关知识. 因为知道直线的横截距，所以将直线的斜率作为主元.

方法1：选定直线斜率的倒数作为主元

当直线AB与x轴不重合时，我们设直线AB的方程为x=my+1.

评析：此解法很自然，将本问题与解三角形有机结合，运用知识，体现能力，也锻炼学生的转化思想和能力.当然我们也可以先从非线性关系入手，利用点在椭圆上这个关系，自然想到椭圆的参数方程，此时我们将离心角作为主元进行求解.

评析：本方法很自然但是运算难度大，要求对三角形和差公式有深度了解且能灵活运用，培养思维，锻炼能力.我们能不能直接从目标入手对结论再次进行等价转化呢？显然，还可转化成射线MA，MB的倾斜角之间的关系，只需证明其倾斜角之和为2π即可. 所以我们以点M为极点，x轴正方向为极轴建立极坐标系，利用极坐标进行求解，但是这种方法运算过于复杂，故而略去.

小结：四种做法联系不同板块知识，产生不同的解题线索，因而得到不同的主元选取角度，关键是点在直线上和点在椭圆上这两个几何条件应用顺序不同所致，但四种做法有机组成几何代数两种处理问题的模式.不同主元的选取由浅入深，既伴随着学生运算素养的提升，又伴随着转化意识的加强.

追根溯源

我们把这个结果当成椭圆的性质来思考，很明显大家观察到点F是椭圆焦点，点M是右准线与坐标轴的交点，我们做出猜想：这个性质是否对圆锥曲线都成立. 同时我们看到2018年全国Ⅰ卷文科高考题第20题就是把圆锥曲线换成了抛物线去证明这个结论. 我们再深层次地挖掘可联想到《高等几何》里的极点极线理论.

评析：如果这两个问题不是先猜再证，而是利用恒成立解出定点坐标运算量会很大，不易操作，而且用方程恒成立处理也可用共轭极点性质进行结论检验.

教学启示

在进行解析几何教学时，鼓励学生发散思维，联系不同板块知识确立不同的线索选定主元进行求解，培养学生先几何后代数的思维习惯，同时对不同做法做好比较，既提升运算素养，又提升转化意识. 同时对典型问题的背景做深入挖掘，对类似共轭极点的性质进行探究，既拓宽学生知识面，又培养学生探究问题本質的意识.