非线性-线性联合结构控制方法减震性能研究

王菁菁， 刘志彬， 浩文明

(1. 广州大学 土木工程学院，广州 510006；2. 湖南工业大学 土木工程学院，湖南 株洲 412000)

结构控制技术能够有效减小结构地震响应[1]，其中调谐质量阻尼器(Tuned Mass Damper， TMD)在实际工程中应用十分广泛[2-3]。TMD一般放置在主体结构顶层，理论模型中TMD的附加质量通过线性弹簧和阻尼单元与主体结构相连，由TMD和主体结构组成的系统为线性系统。当TMD与主体结构频率相调谐时，TMD振动剧烈，消耗系统能量从而减小主体结构响应。真实结构的频率可能因为环境和荷载的不确定性、设计与施工之间的差异、以及极端荷载作用下构件发生损伤而改变，造成TMD与主体结构失调。此时，在初始设计中性能良好的TMD减振性能发生退化[4]。非线性能量阱(Nonlinear Energy Sink， NES)是一种非线性质量阻尼器，使用非线性弹簧代替TMD中的线性弹簧[5-7]，即NES的恢复力与其位移成非线性关系，具有可变刚度。现有研究中[8-14]将恢复力与位移成三次方关系的NES定义为一型NES。一型NES的恢复力切线刚度随位移增大而增大，自振频率也随之改变，使得NES能够与较广范围的频率相调谐，对主体结构频率的变化具有较高的鲁棒性。但同时，NES的非线性特点导致其控制性能对输入能量大小较敏感[15]，即只能在某一能量等级达到有效减振所需的理想刚度。对于能量变化较大的地震作用，NES将无法发挥其最佳减震性能。为解决上述问题，作者提出了将线性和非线性两类控制方法联合使用的结构控制方法，使一个或一组装置同时具备TMD的线性特点和NES的非线性特点，在脉冲型荷载作用下，线性和非线性联合的控制方法展现出较强的能量鲁棒性和频率鲁棒性[16]。刘良坤等[17]对TMD与NES并联的控制方法结合复变量平均法并利用多尺度法进行了近似分析，结果表明混合系统既拓宽了频带又降低了对初始能量的敏感性。

本文对单质量联合阻尼器和双质量联合阻尼器两类非线性-线性结构控制方法的减震性能进行了进一步研究，其中单质量联合阻尼器在一个附加质量的正负运动方向上分别设置非线性和线性恢复力，双质量联合阻尼器在两个附加质量上分别设置非线性和线性恢复力。以两自由度主体结构为例，本文对脉冲型荷载作用下单质量和双质量联合阻尼器的控制参数进行了优化，并在一组地震作用下与TMD和一型NES的控制性能进行了对比和分析。结果显示，两类非线性-线性联合控制方法在脉冲型荷载和所考察地震作用下均能达到与TMD和一型NES相似的减振效果，且对输入能量变化和主体结构频率变化具有较好的鲁棒性。

1 联合控制方法

1.1 单质量联合阻尼器

单质量联合阻尼器(图中简称单联)在附加质量运动正方向和负方向采用不同的恢复力-位移关系，是一种构造紧凑、占用空间相对较小的非线性-线性联合控制方法。质量阻尼器放置于主体结构顶层，模型示意图见图1。在正方向上，单质量联合阻尼器遵循三次方恢复力-位移关系，与一型NES相同；在负方向上，遵循线性恢复力-位移关系，与TMD相同(图2)。

(1)

图1 单质量联合阻尼器示意模型

图2 TMD、NES、单联恢复力-位移关系

式中：ma为附加质量；ca为附加质量的阻尼系数；kasN和kasT分别为非线性和线性刚度系数；ua为附加质量相对于主体结构顶层的位移；xhost·abs为主体结构顶层的绝对位移。

1.2 双质量联合阻尼器

双质量联合阻尼器(图3)使用两个附加质量，包括一个非线性质量，即一型NES，和一个线性质量，即TMD。两者均放置于主体结构顶层，同时与主体结构发生相互作用，两个附加质量间不直接接触。

图3 双质量联合阻尼器示意模型

两附加质量运动方程见式(2)和式(3)

(2)

(3)

式中：maT和maN分别为TMD和NES的质量；caT和caN分别为TMD和NES的阻尼系数；kaN和kaT分别为TMD和NES的刚度系数；uaT和uaN分别是TMD和NES相对于主体结构顶层的位移；xhost·abs为主体结构顶层的绝对位移。

2 控制参数

2.1 主体结构

考虑到后续试验对比需要，本文所采用的主体结构根据两层钢框架试验模型(图4)简化而成。经系统识别得到第一、二层质量分别为24.3 kg和24.2 kg，第一、二层刚度分别为6 820 N/m和8 220 N/m，模态阻尼比为0.1%。

该主体结构曾用于单独使用多种NES和TMD的减震性能研究。NES和TMD的质量比均取为主体结构质量的5%，即2.425 kg。当该附加质量作为顶层质量的一部分即两者间不存在相对位移时，此时的结构为无控系统，其第一、二阶自振频率分别为1.63 Hz和4.56 Hz。优化后一型NES的刚度系数为；TMD为210 N/m。两控制装置的阻尼系数通过试验测定得到，为1.6 N·s/m。本文将采用与一型NES和TMD相同的优化方法对两种联合质量阻尼器进行优化。

图4 主体结构原型结构

2.2 单质量联合阻尼器参数

单质量联合阻尼器质量取为2.425 kg，阻尼系数为1.6 N·s/m，与上述已有研究保持一致。两个优化控制参数为线性和非线性刚度系数。优化采用脉冲型荷载，通过对主体结构所有楼层和附加质量设置0.15 m/s的初始速度施加。优化目标为使10 s内顶层位移的均方根(Root Mean Square，RMS)达到最小值。优化过程在MATLAB中进行，第一步，先确定可能产生最佳减振性能的刚度系数的范围，通过模拟计算得到响应，根据响应调整范围；第二步，当参数范围缩小至同一数量级时调用fmincon命令精确确定最佳参数取值。这种两步优化方法以全局搜索为基础，可以避免误取局部极值。模拟结果表明，初始速度的方向对优化结果没有显著影响。

2.3 双质量联合阻尼器参数

双质量联合阻尼器由两个相等附加质量组成，总和为2.425 kg，每个质量的阻尼系数均为0.8 N·s/m，总和为1.6 N·s/m。优化参数(线性和非线性刚度系数)、优化荷载(0.15 m/s初始速度)和优化目标(10 s内顶层位移RMS达到最小值)和优化过程(全局搜索与fmincon配合使用)与单质量联合阻尼器相同。最优线性和非线性优化结果见图5，最优线性和非线性刚度系数分别为140 N/m 和4.2×105N/m3。刚度系数分别为104 N/m 和9×104N/m3。

2.2.2 党参总皂苷纳米乳药物含量。选取3批次党参总皂苷纳米乳测定药物含量，所得结果见表1，纳米乳中党参总皂苷含量为44.75 mg/mL。

图5 单质量联合阻尼器刚度优化结果

值得说明的是，本文所采用双质量联合阻尼器仅考察了非线性质量和线性质量相等的情况，当增大或减小非线性与线性质量比例时可以对应得到非线性程度增强或减弱的双质量联合阻尼器。

3 减振性能分析

图6比较了在优化脉冲型荷载(初始速度0.15 m/s)作用下无控系统、TMD系统、一型NES系统(图中简称NES)、单质量联合阻尼器系统(图中简称单联)以及双质量联合阻尼器系统(图中简称双联)的顶层位移响应。通过对比可知，本文新提出的两类非线性-线性联合控制方法与TMD和一型NES减振能力相当。单质量联合阻尼器能够在五个周期内(约3 s)将位移降至其最大值的三分之一。双质量联合阻尼器比其他三种控制装置更加有效，在两个周期内(约1 s)就能将位移降低至其最大值的三分之一，展现出极强的减振性能。

图7显示了增大荷载(初始速度0.3 m/s)时各系统的顶层位移响应。由于非线性控制装置的减振性能依赖于输入能量的大小，此时一型NES的减振效果较初始速度0.15 m/s(图6)的情况有了明显退化，且比其他三种控制装置花费了更长的时间才将位移减小至同一等级(响应降至最大值的1/3，一型NES需要约9 s，其他控制装置需要约4 s)。TMD系统为线性系统，其响应大小与激励大小成线性关系，因此减振效率与图6相比不发生变化。单质量和双质量联合阻尼器的控制效果与TMD十分接近，受荷载大小变化的影响远小于一型NES。

图6 0.15 m/s初始速度下顶层位移响应

图7 0.3 m/s初始速度下顶层位移响应

图8显示了主体结构基本频率降低25%时各系统的顶层位移响应，降低主体结构频率是为了考察结构因发生破坏等导致刚度下降而造成的响应变化。此时，TMD的自振频率与主体结构不再相调谐，控制能力退化。一型NES对主体结构频率变化具有较强的鲁棒性，9 s时一型NES系统响应约为此时TMD系统的1/2，无控系统的1/3。单质量和双质量联合阻尼器系统的响应接近一型NES，能够在主体结构频率发生变化时保持较好的减振性能，具有一定的频率鲁棒性。

图8 主体结构频率降低时顶层位移响应

4 减震性能分析

4.1 地震记录

为考察新提出的两类联合控制方法在地震作用下的控制性能，本文对8条Tabas Iran(1978年，7.35级)和4条Kern County(1952年，7.36级)实测地震加速度记录作用下的结构响应进行了分析。抗震设计应与结构所处环境和抗震设防烈度相对应，但考虑到控制装置在优化时采用的是脉冲型荷载，而非特定的地震作用，同时为考察控制方法对荷载变化的鲁棒性，所以本文未对地震记录进行调整。

表1列出了12条地震记录的信息，按地面峰值加速度(PGA)从小到大编号，所考察PGA范围为0.263 m/s2～4.012 m/s2。

表1 地震记录信息

4.2 主体结构频率不变时响应分析

图9对比了12条地震作用下TMD系统、一型NES系统、单质量联合阻尼器系统以及双质量联合阻尼器系统与无控系统的顶层位移均方根比值。无控系统顶层位移峰值，见表1。观察可知，除6号、9号和12号地震外，其余地震作用下各控制装置均能使响应下降至无控系统的0.6以下或略高于0.6(5号地震)，展现出极强的减震性能。

各控制系统中，一型NES系统的减震性能随地震作用的不同而变化较大，体现在2号、5号、9号、11号和12号地震作用下响应明显大于其他控制系统。原因在于一型NES恢复力为完全非线性，当所受地震作用过大或过小或者地震作用变化较剧烈时，一型NES所提供的瞬时刚度与该时刻能量等级所要求的理想刚度偏离较远，导致减震性能下降，表现为较差的能量鲁棒性。

TMD为线性质量阻尼器，无论地震作用大小如何变化，自振频率始终与主体结构频率相调谐，TMD通过共振增大自身响应减小主体结构响应，体现了线性结构所能达到的最佳减震效果。本文中的两类联合质量阻尼器总体减震性能能够达到甚至略优于TMD的减震性能。12条地震中有10条地震(除4号和9号外)作用下单质量联合阻尼器小于TMD或大于TMD不超过0.05；所有地震作用下双质量联合阻尼器均小于TMD或大于TMD不超过0.05。联合质量阻尼器虽然具有一定的非线性，但在大小变化各异的地震作用下仍具有较好的能量鲁棒性，减震效果与TMD相当。

图9 地震作用下主体结构频率不变时顶层位移响应比值

在所考察地震作用中，当无控系统顶层位移峰值在0.04 m附近时(3号和8号)，包括一型NES在内的所有控制系统减震性能极佳，与无控系统的响应比值小于0.3。由此可推测无控系统顶层位移峰值达到0.04 m附近这一范围时所对应的地震输入能量有可能使完全非线性的一型NES达到最佳减震性能。以2号地震作用为例，图10和图11分别对比了原地震作用(无控系统顶层位移峰值为0.013 m)和增大地震作用后(无控系统顶层位移峰值为0.04 m)各系统的顶层位移响应。为清晰表示结果，图中仅截取了20～40 s主要响应阶段。可以看出TMD减震性能不受地震作用大小的影响；地震作用大小调整后一型NES的减震性能显著提升，基本接近其他控制装置中的最佳水平。两类联合阻尼器在地震作用大小改变前后减震性能变化很小，展现出优越的减震性能和较强的能量鲁棒性。

图10 2号地震作用下顶层位移响应

图11 增大2号地震作用后顶层位移响应

4.3 主体结构频率改变时响应分析

当结构受到剧烈地震作用时，构件发生破坏，主体结构刚度下降，导致自振频率降低。此时主体结构特性与优化时已有显著的不同，控制装置是否能保持较高减震效率有待考察。

图12显示了主体结构基本频率下降25%时，地震作用下各控制系统与无控系统的顶层位移均方根比值。此时无控系统顶层位移峰值见表1。除6号地震外，各地震作用下控制装置整体的减震性能均较原主体结构频率时发生了退化。其中，线性的TMD与现有主体结构不再相调，性能退化较为突出，在2号、3号、5号、7号、9号、10号和12号地震作用下响应比值超过0.6。此时一型NES系统的减震性能基本处于其他控制系统的平均水平，考虑到原主体结构频率时一型NES系统在各地震作用下减震性能波动较大，可以看出频率变化对一型NES的影响相对较小，即一型NES具有较好的频率鲁棒性。

整体评价12条地震作用下的响应，两类联合质量阻尼器的减震性能均优于TMD和一型NES。单质量和双质量联合阻尼器分别在8条地震(除3号、6号、7号和9号外)和9条地震(除1号、4号和7号外)作用下减震性能优于TMD和一型NES。联合质量阻尼器由于具有一定程度的非线性，因此能够适应主体结构频率的变化，同时，考虑到地震作用的大小对一型NES的减震效果影响较大，两类联合质量阻尼器在所考察地震作用下的频率鲁棒性甚至优于完全非线性的一型NES。

图12 地震作用下主体结构频率改变时顶层位移响应比值

在12条地震中，6号地震作用下各控制系统的减震性能在变主体结构频率时反而优于原主体结构频率。其原因可能与以下两点有关。其一，能量变化较频率变化对非线性质量阻尼器性能的影响更大，当主体结构频率下降时，无控系统顶层位移峰值增大，与前文分析的使非线性质量阻尼器达到最佳减震效果的0.04 m附近较接近。其二，6号地震所对应的位移反应谱中(图13)，无控系统一阶频率从1.63 Hz(原-无控一阶)降至1.23 Hz(变-无控一阶)时，响应显著增大；而TMD系统一、二阶频率分别从1.37 Hz(原-TMD一阶)和1.82 Hz(原-TMD二阶)降至1.16 Hz(变-TMD一阶)和1.61 Hz(变-TMD二阶)时，响应变化相对较小。因此，当使用控制系统与无控系统的响应比值来评价减震性能时，主体结构频率改变时反而优于主体结构频率不变时。非线性质量阻尼器的自振频率随其响应大小而改变，具有连续变化的特点。图14中小波变换图表示主体结构响应在频谱上的分布，以TMD装置的自振频率为参考，当控制装置自振频率变化时，主体结构的主要振动频率(图14(d)中的细曲线)位于TMD系统的一、二阶频率之间，因此在分析上述反应谱时可统一使用TMD系统的频率作为参照。

由地震响应分析可见，地震作用具有能量变化大和频响特性复杂等特点，非线性方法不适用于所有能量等级，而线性方法在某些频响关系中减震性能较差。相较完全非线性和完全线性的方法，非线性-线性联合控制方法减震鲁棒性更强。

图14 控制装置自振频率与主体结构主要振动频率间的关系

5 结 论

本文将线性和非线性结构控制方法相结合，得到了两类联合控制方法——单质量联合阻尼器和双质量联合阻尼器，用以解决TMD频率鲁棒性差和NES对输入能量较敏感的问题。基于单质量和双质量联合阻尼器运动方程建立了两自由度主体结构附加该两类阻尼器的数值模型，并在脉冲型荷载作用下对控制参数进行了优化。与TMD和一型NES相比，单质量和双质量联合阻尼器可以达到相近的减振效果，且能量鲁棒性优于一型NES，频率鲁棒性优于TMD。同时，通过脉冲型荷载优化得到的两类联合控制方法还能有效减小结构的地震响应，在所考察的12条地震作用下，其减震效率及减震鲁棒性接近甚至优于完全线性和完全非线性的控制方法，在结构减震控制方面展现出巨大潜力。