一道解析几何难题的巧解与推广

湖北省宜都市一中 (443300)

艾昆仑

我校2019届高三年级参加的十一月调研考试中解析几何试题是一道难度极高的试题,许多同学由于方法不准或计算失误,导致第2问不能得分.现给出一个较好解法,并对结论给出推广.

(2)过点P(12,8)的两条直线l1,l2分别交抛物线Γ于点C,D和E,F.线段CD和EF的中点分别为M,N.如果直线l1,l2的倾斜角互余,求证:直线MN经过一定点.

证明:(1)易得抛物线Γ的方程为y2=4x.

下面将题2结论推广为:

过点P(m,n)的两条直线l1,l2分别交抛物线Γ:y2=2px(p>0)于点C,D和E,F.线段CD和EF的中点分别为M,N.如果直线l1,l2的倾斜角互余,求证:直线MN经过一定点.

因直线CD和直线EF的倾斜角互余,故k1k2=1,即(y1+y2)(y3+y4)=4p2.

由上结论知,调考题答案为MN经过定点(10,0).