单位圆内二阶线性微分方程解的复振荡

龚攀，石黄萍，程国飞

(上饶师范学院数学与计算机科学学院，江西上饶334001)

假定读者熟悉单位圆Δ={z∈C∶|z|＜1}和复平面C内亚纯函数的Nevanlinna值分布理论的基本结论和标准记号(见文献［1-5］)。前人得到了很多复平面内线性微分方程解的值分布理论，这自然引起了比复平面更复杂的单位圆Δ内线性微分方程的研究，2000年芬兰学者J.Heittokangas在文献［6］中首次研究了单位圆Δ内线性微分方程。

首先，我们给出单位圆Δ内亚纯函数和解析函数的迭代级和［p，q］级的相关定义。

1 定义和主要结果

定义1［7］定义单位圆Δ内亚纯函数f(z)的迭代p级为:

对于单位圆Δ内解析函数f(z)，我们也定义:

注1 根据M.Tsuji文献［5］，如果f(z)是单位圆Δ内解析函数，则:

根据文献［3］命题 2.2.2，我们有:

定义2［8-9］定义单位圆Δ内亚纯函数f(z)的迭代p级零点收敛指数为:

定义3［10］假设p≥q≥1是整数，f(z)是单位圆Δ内亚纯函数，定义f(z)的［p，q］级为:

对于单位圆Δ内解析函数f(z)，我们也定义:

注 2［10］对于任意的 p ≥ q ≥ 1，我们有 0≤ ρ［p，q］(f) ≤ σ(0≤ ρM，［p，q］(f) ≤ σ)。 根据定义 3，我们有ρ［1，1］(f)= ρ(f)(ρM，［1，1］(f)= ρM(f)) 和 ρ［2，1］(f)= ρ2(f)(ρM，［2，1］(f)= ρM，2(f))。

定义4［10］假设p≥q≥1是整数，f(z)是单位圆Δ内亚纯函数，定义f(z)的［p，q］级零点收敛指数为:

类似的，定义f(z)的［p，q］级不同零点收敛指数为:

最近Beladi和Latreuch研究了二阶非齐次线性微分方程解的复振荡:

其中A(z)，B(z)0和F(z)0是单位圆Δ内迭代p级有限的亚纯函数，我们可以参考相关的文献(见文献［11］)。在陈述他们的结论之前需要以下记号:

其中A0(z)=A(z)，B0(z)=B(z)和F0(z)=F(z)。Beladi和Latreuch得到了下面的结论。

定理1［12］设A(z)，B(z)0和F(z)0是单位圆Δ内迭代p级有限的亚纯函数且Bj(z)0和Fj(z)0(j=1，2，3，…)。如果f(z)是单位圆Δ内方程(1)的亚纯解并且有:

则

本文将考虑二阶非齐次线性微分方程(1)解的［p，q］级，我们可以得到以下结论。

定理2 假设p≥q≥1是整数，A(z)，B(z)0和F(z)0是单位圆Δ内［p，q］级有限的亚纯函数且Bj(z)0和Fj(z)0(j=1，2，3，…，)。如果f(z)是单位圆Δ内方程(1)的亚纯解有:

则

2 主要引理

引理1［13］设p≥q≥1是整数，f(z)和g(z)是单位圆Δ内具有［p，q］级的亚纯函数，则有:

和

如果 ρ［p，q］(f) ＞ ρ［p，q］(g)，则有:

引理2［13］设p≥q≥1是整数，f(z)是单位圆Δ内具有［p，q］级的亚纯函数，则有:

引理3［14］设p≥ q≥1是整数，Aj(j=0，1，…，k－1)，F0是单位圆Δ内［p，q］级有限的亚纯函数，如果f(z)是微分方程:

的亚纯解，并且满足 max{ρ［p，q］(Aj)(j=0，1，…，k － 1)，ρ［p，q］(F)} ＜ ρ［p，q］(f) ＜ σ，则有:

3 定理的证明

因为 F(z) 0 且 max{ρ［p，q］(A)，ρ［p，q］(B)，ρ［p，q］(F)} ＜ ρ［p，q］(f) ＜ σ，根据引理 3 有:

因为B(z)0，方程(1)两边除以B得:

方程(5)两边微分得:

再将方程(6)两边乘以B得:

其中:

根据引理1和引理2有:

又因为F1(z)0，根据引理3有:

因为B1(z)0，方程(7)两边除以B1得:

对方程(8)两边微分再乘以B1得:

其中A2，B2和F2是亚纯函数，定义见(2)－(4)。

根据引理1和引理2有:

又因为F2(z)0，根据引理3有:

假设:

对所有的k=0，1，2，…，j－1成立。现证明k=j时(10)也成立，和前面同样的证明方法有:

根据引理1和引理2有:

又因为Fj(z)0，根据引理3有:

定理2证明完毕。