合作学习：从“数学交流”走向“互助学习”

☉江苏省苏州市吴江区松陵第一中学 陈 明

最近读到福建师范大学数学与信息学院李祎教授的《别被理念绑架教学》（见参考文献［1］），文中指出：“我们日常所谓的数学合作学习，其实是数学交流，数学交流仅仅是数学合作学习中的一个环节，并非数学合作学习的全部．”合作学习是指“学生在小组或团队中为了完成共同的任务，有明确的责任分工的互助性学习”．近年来，笔者在“合作学习”的课题研究过程中，对李教授的上述观点深有感触、引发共鸣．本文将结合课题研究实践过程中积累的一些案例，例谈合作学习要注意从“数学交流”走向“互助学习”．

一、“互助学习”的案例与解读

案例1：探究两个三角形全等的条件

三角形全等的判定方法是非常重要的几何知识，义务教育课程标准将“边边边”“边角边”“角边角”作为基本事实给出，教学时如何组织这些判定方法的情境创设考验着不少教师的教学基本功．经过多次实践，笔者觉得适时运用合作学习、互助学习能有效提升课堂教学效率．以下整理笔者关于“边边边”判定方法的教学活动：

教学活动：同学们刚刚通过作图确认了在两个三角形中，只给定一个元素相等，或两个元素分别相等，两个三角形不一定全等，大家画出的三角形“各不相同”，下面我们给定三个元素再来作图.比如，第一小组的同学作三边长分别是2cm、3cm、4cm的三角形，第二小组的同学作三边长分别是3cm、4cm、5cm的三角形，第三小组的同学作三边长分别是3cm、3cm、4cm的三角形，第四小组的同学作三边长分别是1.5cm、2.5cm、3cm的三角形，在各组作好三角形之后，由各小组组长检查对比本组同学所画三角形的形状与大小，可以确认小组内作出的三角形都是全等的．从而给出基本事实：三边分别相等的两个三角形全等．简记为“边边边”或“SSS”．

说明：上述教学活动充分发挥了分组学习、合作学习的优势，让不同小组做不同的尝试，用不同的边长画图，分别确认，这样可以有效节约课堂教学时间，因为每个小组的作图任务的思维含量、数学技能的层级是一致的，所以这样的分组合作学习就是有效的．事实上，在此基础上，继续研究“边角边”“角边角”判定方法时，也可采用同类的教学方法，开展小组合作学习，这也就从简单交流走向了互助学习．另外，在圆周角性质的发现与证明过程中，也可安排小组合作学习，让不同小组对同弧所对圆周角展开探究，小组内先交流各自发现，然后组织大组交流展示，最终确认圆周角的性质．

案例2：探索发现一元二次方程“根与系数的关系”

一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）虽然是选学内容，但由于在高中阶段有着广泛的运用，而目前初中生有大多数都将升入高中学习，所以在平时教学中，教师都不会淡化这个知识点的教学．那么，如何引出一元二次方程根与系数的关系呢？笔者有如下的实践：

教学活动：先将学生分成4个小组，小组长从教材或近期作业中选出4道左右有代表性的一元二次方程题，列表对比这些方程两根之和与两根之积．然后小组内交流各自的发现，形成意见后全班交流，猜想归纳得出根与系数的关系．教师在学生“分组实验”的基础上，启发学生猜想发现才迈出重要一步，虽然在各组分工研究过程中没有发现“反例”，但是并不能保证它的正确性或一般性，需要进行证明才能确认这一性质，于是让学生“回到定义”，需用求根公式证明韦达定理．

说明：现在不少地区推行数学实验，而且把数学实验简单化理解为一些折纸操作的动手实验活动．事实上，像上面分组探究一元二次方程根与系数的关系也是数学实验的重要内容，但是分组合作、动脑计算、猜想发现之后还需要启发学生走上“一般证明”之路，“有了证明才是真数学”，否则与其他科学类课程传递的实验教学区别不大．类似地，反比例函数图像的位置的探索，也可以运用类似的分组合作学习的方式，让不同小组将探究到的反比例函数图像的位置、特点与性质进行交流，最后大家讨论确定反比例函数的图像与性质.在这个过程中，也要注意从图形直观的实验走向理性说明，比如，充分考虑反比例函数解析式中“分式”的特点，发现自变量、函数值都不可能为0，这样就可充分解释双曲线与坐标轴没有交点等性质，也可让学生感受到数与形之间的和谐、一致与数形互助思想．

案例3：写出两个正多边形的相同点与不同点

进行正多边形的教学时，笔者曾设计如下一道习题：给出正五边形、正六边形（如图1），写出它们的相同点、不同点（至少各写3点）.

图1

教学组织：考虑到答案的丰富多样，安排学生先独立思考，然后分组合作，互助学习，在小组内汇报交流各自发现，然后派出代表到讲台上讲解他们小组的发现，再安排几个学生在黑板上类比收集，写在黑板上相应的位置.待各个小组都汇报展示之后，引导学生思考为什么有这么多答案，大家是从哪些角度思考的，并在此基础上小结出研究一个几何对象的套路，如定义、要素（边与角）、相关要素（外角、对角线）、对称性质（轴对称与中心对称）、外接圆与内切圆（中心、边心距）等，让这道开放式习题的教学功能得到强化，而不只是满足于多样化答案的获得.

案例4：锐角三角函数起始课的探究情境

锐角三角函数的概念引出是很多教师感到困惑的一个教学难点，因为不同教材上的方式各不相同，多数版本的教材采取的是生活现实情境，从中抽象出直角三角形，分析各边之比定义锐角三角函数.笔者经过对比，采取如下合作学习的方式，引出新知：

图2

图3

图4

进一步安排学生分组研究这3条直线，在这些直线上任意取点P、Q，研究点P的坐标之间的比值在各自图形中是否变化.学生分组交流确认不变之后，抽象出图5，走向一般，得出变量α与比值之间的单值对应关系，从而对照函数概念，定义锐角三角函数（先定义正切函数，再生成正弦函数、余弦函数）.

图5

说明：基于坐标系定义锐角三角函数有一个优点，即有利于将来高中阶段将三角函数进一步扩充、完善，同时是基于学生 “最近发展区”（正比例函数的图像）而设计的一个“数学现实”．安排学生分组研究，汇总各组的发现可以确认和归纳出一些性质，从而引导学生对照函数定义（变化过程中，两个变量，单值对应）生成新的概念．

二、关于合作学习的进一步思考

1.基于教学内容想清“合作学习”是否必要

为了防止合作学习流于形式，教师在备课阶段就要针对教学内容想清教学组织形式，针对一些合作学习的环节想清辨明是否存在分组合作的必要，对于一些可有可无的合作形式，能精减则精减，宁可多安排学生独立思考、探索.特别是对一些解题活动，考虑到数学解题步骤之间连续性、关键步骤的获得，不宜过多安排合作讨论，因为在合作讨论时，往往是优秀学生展示“破题”方法，其他学生看似领悟、学会，实质上关键步骤的获得“得来全不费功夫”，不利于他们对解题重点和难点的掌握.而对于一些“等价”的探索活动，如上文案例1～2中，作三角形、不同一元二次方程根与系数的关系就适合分工合作进行“实验”，然后汇总“实验”结果，提出猜想并证明性质.

2.基于教学效率预设“合作学习”操作要义

课堂教学时间十分宝贵，为了确保一定的教学容量，我们需要恰当运用合作互助学习的方式来提高教学效率，上面提供的一些案例都是提高教学效率的有效活动.具体来说，针对教学内容的特点，预设合作学习的方式、时间、节点，并相机融入教师的指导、追问与点评，都对教师的课堂驾驭能力提出较高的要求，这就是所谓“怎么教”的研究课题.当然，还可提及弗赖登塔尔倡导的“有指导的再创造”，对有些低效的合作学习需要删减，可以用教师的启发式讲授或指导取而代之，以提高课堂教学效率.总之，合作学习在课堂教学中需要相机而行，既要根据教学内容，又要兼顾课堂教学效率，在这个意义上说，教学也是一种“平衡”的艺术.