不可忽视的隐含条件

☉山东省济南市莱芜区雪野镇中心中学 郭立春

-（x2+2x）=1，则x2+2x的值为______.

小明的解法：设x2+2x=y，原方程可变形为-y=1，整理得y2+y-6=0.

解得y1=-3，y2=2.

经检验，y1=-3，y2=2都是原方程的根.

则x2+2x的值为-3或2.

小明的解法是否正确？当x2+2x=-3时，x2+2x+3=0.该方程的判别式Δ=22-4×1×3=4-12=-8＜0，因此方程x2+2x+3=0无实数根，这与已知条件“x为实数”矛盾.因此不存在这样的实数x，使x2+2x=-3.也就是说，x2+2x的值不可能为-3.为什么x2+2x的值不可能为-3呢？我们不妨对x2+2x的取值范围进行考察.通过配方，可得x2+2x=（x+1）2-1.显然（x+1）2≥0，因此（x+1）2-1≥-1，即x2+2x≥-1.由于x2+2x在原分式方程中还处于分母的位置，因此x2+2x≠0.所以x2+2x的取值范围是x2+2x≥-1且x2+2x≠0.而-3＜-1，不在x2+2x的取值范围内，因而x2+2x的值不能为-3.2＞-1，在x2+2x的取值范围内，因而x2+2x的值为2合理.因此x2+2x的值为2.

从上面的分析不难看出，小明的解法不对，它忽视了x2+2x的取值范围，这是一个隐含条件，不易察觉，稍有不慎，就很容易被忽略而致错.事实上，不仅我们会遇到很多蕴含隐含条件的数学问题，而且我们所学的很多数学公式、定理、几何图形的性质等也蕴含隐含条件.在解决数学问题时，要注意考虑其中蕴含的隐含条件，剔除不合题意的解.

一、在解决分式问题时忽视分母不能为0这个隐含条件

分式的分母不能为0，这是分式有意义的条件.解分式方程为什么要验根？实质上也是从分式有意义的条件上进行考虑.在解答与分式有关的问题时，这个条件常常容易被忽视而致错，这应当引起我们足够的重视.

例1分式的值为0，则x=______.

一些学生一看到题目，认为只需令分子x2-1=0即可，解得x=±1.事实上，当x=1时，分母x2+2x-3=0，此时分式无意义，因此x≠1.当x=-1时，分母x2+2x-3=-4≠0，因此x=-1.因此本题的正确答案是x=-1.如何避免上述错误？我们可以先将原分式化为最简分式，得，然后令最简分式的分子等于0，得x+1=0，则x=-1.这样就可以避免上述错误.

牛刀小试：分式的值为0，则x=______.

例2先化简，然后对a取一个你喜欢的数代入求值.

牛刀小试：先化简），然后选取一个你喜欢的m值代入求值.

二、在解决一元二次方程问题时，要注意方程有实数根的隐含条件

我们知道，一元二次方程的判别式与一元二次方程的根有密切的关系.当判别式大于0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当判别式等于0时，一元二次方程有两个相等的实数根；当判别式小于0时，一元二次方程没有实数根.在解答一元二次方程问题时，一些学生经常由于忽视一元二次方程有实数根的条件而致错.

例3已知关于x的一元二次方程x2-mx+2m-1=0的两个实数根的平方和为7，那么m的值是______.

错解：设方程的两根分别为x1、x2，则有x1+x2=m，x1x2=2m-1.

x12+x22=（x1+x2）2-2x1x2=7，则m2-2（2m-1）=7，即m2-4m-5=0.解得m=5或m=-1.

剖析：当m=5时，原方程为x2-5x+9=0，此时判别式Δ=（-5）2-4×9=-11＜0，方程无实数根，因而m=5不合题意，应舍去.当m=-1时，原方程为x2+x-3=0，此时判别式Δ=12-4×（-3）=13＞0，因此m=5符合题意.因而正确答案为m=5.上述错解忽视了一元二次方程有实数根的条件，因而在解答时要注意考虑一元二次方程有实数根这个隐含条件，并根据这个条件剔除不满足原方程有实数根的m的值.

牛刀小试：已知关于x的一元二次方程x2+kx+2k-1=0的两个实数根的平方和为23，那么k的值是______.

三、在解决三角形问题时，要注意三角形存在的隐含条件

三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，这是三角形的三边关系定理.在解决与三角形有关的问题时，要注意考虑三角形存在的隐含条件.

例4已知关于x的方程x2-（2k+1）x+4（k-0.5）=0.

（1）求证：无论k取什么实数，这个方程总有实数根.

（2）若等腰△ABC的一边长a=5，另两边的长b、c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长.

第（1）问比较简单，只需证明原方程的判别式大于或等于0即可.对于第（2）问，需要对a进行讨论.因为a可能是等腰三角形的底边长，也可能是等腰三角形的腰长.下面我们来解答第（2）问.

①当a为底边时，b、c为腰长，则方程x2-（2k+1）x+4（k-0.5）=0有两相等的实数根.所以原方程的判别式等于0，即（2k+1）2-4×4（k-0.5）=0，解得k=1.5.此时方程为x2-4x+4=0，方程的根为x1=x2=2，即b=c=2，三角形的周长为5+2+2=9.

②当a为腰长时，b、c两边中必有一边为腰，因而5必是原方程的根.代入原方程，得52-5（2k+1）+4（k-0.5）=0，解得k=3.原方程为x2-7x+10=0.解得x1=2，x2=5.三角形的周长为5+5+2=12.

因此△ABC的周长为9或12.

表面上看上述解答天衣无缝，其实存在漏洞.当a为底边时，我们求出的三角形的三边长分别为5、2、2，这样的三角形存在吗？2+2=4＜5，显然这样的三角形不存在，这种情况不符合题意，它忽视了三角形存在的条件.当a为腰长时，所求出的三角形三边长分别为5、5、2，满足三角形的三边关系定理，因而这样的三角形存在，符合题意.因而△ABC的周长为12才是正确答案.

牛刀小试：已知关于x的方程x2-（3k+1）x+2k（k+1）=0.

（1）求证：无论k取什么实数，这个方程总有实数根.

（2）若等腰△ABC的一边长a=6，另两边的长b、c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长.

四、在解决一元二次方程的实际问题时，忽视一些关键字词等隐含条件

在解答一元二次方程的实际问题时，一般情况下所列的一元二次方程有两个实数根，多数情况下我们会舍去负数根.如果所列的一元二次方程有两个正实数根，有时我们也要根据实际问题中的关键字词蕴含的隐含条件将其中一个正实数根舍去.如根据“减少库存”或“使顾客得到实惠”等，舍去那些对商家或顾客“不利”的根.

例5某百货商场服装柜在销售中发现“宝乐”牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元.为了迎接“六·一”儿童节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，减少库存.经市场调查发现：如果每件童装降价4元，那么平均每天就可多售出8件.要想平均每天在销售这种童装上盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？

牛刀小试1：某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出，平均每天能售出8台.为了配合国家“家电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施.调查表明：这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出4台.商场要想在这种冰箱销售中每天赢利4800元，同时要使顾客得到实惠，每台冰箱应降价多少元？

牛刀小试2：图1是一个正方体的表面展开图，已知正方体相对两个面上的数相同，且不相对两个面上的数值不相同，则“★”面上的数为（ ）.

A.1 B.1或2 C.2 D.2或3

图1

以上我们仅从四个方面举例谈了在解决数学问题时要注意题目中的隐含条件.当然，数学问题中的隐含条件远不止这些，如在解决二次根式问题时，容易忽视被开方数为非负数这个隐含条件，在应用抛物线的性质比较二次函数值的大小时，容易忽视在对称轴的同侧这个隐含条件，在应用反比例函数的性质时，容易忽视在每一象限内这个隐含条件.中考命题者常常根据这些隐含条件设置一些陷阱，只要我们在平时的学习过程中注意总结，多加练习，相信在中考中一定能绕过这些“陷阱”，取得令人满意的成绩.F