正方体在立体几何中的模型作用

王建军 郭金红

(1.山西省阳泉市教学研究室 045000;2.山西省阳泉市第二中学校 045000)

基金项目：山西省教育科学“十三五”规划2018年度规划课题《高中数学教学培养学生核心素养的行动研究》(编号GH-18491)(王建军 贾爱寿 田素明 郭金红 梁迎花 李海明等)

正方体是完美的对称图形，是立体几何中的基本模型．正方体中点、线、面之间的位置关系是立体几何的基础，研究正方体中的立体几何问题可以培养学生的空间观念，理解数学的本质，达到快速解题目的．

一、正方体中的平行问题

正方体中平行问题证明的思路具有一般性，是证明直线与平面平行，平面与平面平行的通性通法．

例1如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点N在BD上，点M在B1C上，且CM=DN，求证：MN∥平面AA1B1B．

证明如右图，作ME∥BC，交BB1于E；作NF∥AD，交AB于F．连结EF，则EF⊂平面AA1B1B.

∵BD=B1C，DN=CM，∴B1M=BN．

又ME∥NF，∴MEFN为平行四边形．∴MN∥EF．

又MN⊄平面AA1B1B，EF⊂平面AA1B1B，

∴MN∥平面AA1B1B．

二、正方体中的垂直问题

正方体中隐含着线线，线面，面面的垂直关系，利用三种垂直关系来解题是立体几何垂直问题的基础．

例2如图所示，正方体ABCD-A′B′C′D′的棱长为a，M是AD的中点，N是BD′上一点，且D′N∶NB=1∶2，MC与BD交于P．

(1)求证：NP⊥平面ABCD；(2)求平面PNC与平面CC′D′D所成角的正切值．

∴DP∶PB=MD∶BC=1∶2．又已知D′N∶NB=1∶2，由平行线分线段成比例定理得NP∥DD′.又DD′⊥平面ABCD，∴NP⊥平面ABCD．

(2)∵NP∥DD′∥CC′，∴NP、CC′在同一平面内，CC′为平面NPC与平面CC′D′D所成二面角的棱．

又由CC′⊥平面ABCD，得CC′⊥CD，CC′⊥CM，∴∠MCD为该二面角的平面角．

三、正方体中的角问题

正方体中的异面直线所成的角、线面角、二面角的求解过程是解决其他问题的基础．

例3在棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P在棱CC1上，且CC1=4CP．求直线AP与平面BCC1B1所成的角的正切值．

解连结BP．∵AB⊥平面BCC1B1，∴AP与平面BCC1B1所成的角就是∠APB.∵CC1=4CP,CC1=4，∴CP=1．

四、正方体中的距离问题

立体几何中的直线到平面的距离、平面到平面的距离最终要转化为点到平面的距离．

例4 正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是AA1,CC1的中点，若正方体棱长为a，求平面EB1D1与平面FBD间的距离．

解做BB1的中点G，连接EG，C1G，根据平面几何知识，可得ED1∥GC1，BF∥GC1，∴ED1∥BF， ∵ED1⊄平面FBD，BF⊂平面FBD，∴ED1∥平面FBD．同样，B1D1∥BD, ∵B1D1⊄平面FBD，BD⊂平面FBD，∴B1D1∥平面FBD．

又ED1∩B1D1=D1，∴平面EB1D1∥平面FBD．

连结AC，A1C1，由AC⊥BD，AA1⊥BD，可得BD⊥平面ACC1A1，又BD⊂平面FBD，∴ 平面FBD⊥平面ACC1A1，平面EB1D1⊥平面ACC1A1，连接O1O，O1E，过点O作OM⊥O1E，则OM⊥平面EB1D1，OM即为平面EB1D1与平面FBD