三维力学问题解题方法探讨

曾 奇

(广东省中山市中山纪念中学 528454)

高中生接触比较多的力学问题通常都是二维平面问题，在这类问题中物体受到的力都在同一个平面内，我们只需在平面内建立二维直角坐标系就可以求解.但是有些问题中物体受到的几个力不在同一个平面内，笔者把这样的问题称为 “三维力学问题”，学生面对这样的问题往往会觉得无从下手，在解决这类问题时，我们可以根据物体的运动情况先把其中的受力平衡的维度解决掉，这样就可以把三维问题降低维度，然后再根据物体的运动情况解决非平衡态的那个维度的问题.

例1如图1所示，斜面为长方形的斜面体倾角为37°，其长为0.8 m，宽为0.6 m．一重为20 N的木块原先在斜面体上部，当对它施加平行于AB边的恒力F时，刚好使木块沿对角线AC匀速下滑，求木块与斜面间的动摩擦因数μ和恒力F的大小．

解析将重力分解为沿斜面的分力mgsinθ和垂直于斜面的分力mgcosθ

物块在垂直于斜面的方向上合力为零：N=mgcosθ

木块在斜面上的受力如图2，沿AB方向和AD方向建立坐标系，物体在平面内合力为零，则有：F=mgsinθsinα=9N

由：Ff=μN得：μ=15/16

例2杂技表演的安全网如图3甲所示，网绳的结构为正方形格子，O、a、b、c、d等为网绳的结点，安全网水平张紧后，质量为m的运动员从高处落下，恰好落在O点上．该处下凹至最低点时，网绳dOe、bOg均为120°张角，如图3乙所示，若此时人的加速度竖直向上，大小为2g，则这时O点周围每根网绳承受的张力大小为

A．mgB．1.5mgC．2mgD．3mg

解析每根绳子的拉力为T，则每根绳子的拉力在竖直方向的分量为：Tcos60°，四根绳子在水平方向上合力为零，在竖直方向上有4Tcos60°-mg=ma，解得：T=1.5mg，故选项B正确

例3如图4所示，直角斜槽间夹角为90°，对水平面的夹角为θ，一横截面为正方形的物块恰能沿此槽匀速下滑.假定两槽面的材料和表面情况相同，求物块与槽面间的动摩擦因数μ的最小值为多大？

解析如图5建立三维直角坐标系来求解该题目，为了求解问题的方便，以A点为坐标原点，分别沿AD方向、AB方向、AC方向建立x轴、y轴、z轴.物体沿x轴负方向加速，因此物体所受合力的方向为x轴的负方向，所以物体在垂直于x轴的平面内合力为零，垂直x轴的方向有两个，因此还要列出y方向合力为零和z方向合力为零两个方程，即最终要得到三个方向的方程进行求解.将重力分解为x负方向的分力mgsinθ和垂直于x方向的分量mgcosθ，设垂直于x方向的分量mgcosθ(即yAz平面内的分量)与y轴夹角为α，将其分解为y方向分量mgcosθcosα和z方向分量mgcosθsinα.

得：y方向：N1=mgcosθcosα

z方向：N2=mgcosθsinα

x方向：mgsinθ=f1+f2

即：mgsinθ=μmgcosθcosα+μmgcosθsinα

以上问题都需要在三维直角坐标系下进行求解，由于高中生通常比较熟悉用二维直角坐标系解题，所以这类 “三维”问题对高中生具有一定的难度.学生解题时可以根据物体的运动的情况先解决合力为零的方向的受力情况，再解决合力不为零的方向.例如物体做直线运动，则在垂直于该直线的两个维度上受力平衡，学生可以先列出这两个方向的方程，再解决有加速度的方向的方程；如果物体做平面运动，则在垂直于该平面的方向上受力平衡，学生可以先列出这个方向的方程.之后再根据具体的运动情况，找到受力不为零的方向，列出相应的方程.