微元法在高中物理中的妙用

于润鹏

(山东省聊城市茌平县第一中学 252100)

一、什么是微元法

“微元”思想在我国最早出自庄子《天下篇》：“一尺之锤，日取其半，万世不竭”，但直到牛顿时期，这一方法才被广泛应用，成为分析解决数学和物理问题的常用方法.

微元法就是将复杂的物理过程分成众多微小的“元过程”，然后对“元过程”进行分析，找出其物理规律，再将此规律通过一定的数学方法或物理思想运用到整个过程，从而解决问题.选取的“元”代表了整个物理过程的基本特征，例如可以选取一段时间——时间元，一部分面积——面积元，一段圆弧——线元，一部分质量——质量元等等.

二、列举：人教版高中物理教科书中的微元思想

高中学生数学知识有限，当面对一些需要使用微分、积分来分析的复杂物理问题，往往难以理解，借助微元思想可以化难为易，从而帮助学生解决认知和思维上的困难.具体方法就是先对具有代表性的“元过程”进行物理分析，再利用数学方法将“元过程”推广到整个物理过程.下面就以人教版高中物理教材为例，列举应用微元思想的几个知识点：

人教版高中物理教科书中微元思想举例.

知识点微元元素主要内容瞬时速度的定义时间元Δt取Δt足够小,对平均速度的元过程求极限用打点计时器测量瞬时速度时间元Δt取Δt足够小,算出平均速度代替瞬时速度匀变速直线运动的位移面积元Δs在v-t图像上,物体的位移可看做无数个微小的Δs叠加,即梯形的面积重力势能:重力做的功高度元Δh将任意路径分成众多小间隔,每个小间隔可近似成一条倾斜的直线,每段高度差为Δh,叠加后即为重力在整个路径上所做的功探究弹性势能的表达式:拉力做的功长度元ΔL弹簧拉伸的过程分成多个小段,将每小段ΔL上的力视为恒力,将各小段上拉力做的功叠加

三、列举：微元法在高考试题和物理竞赛中的妙用

物理教材中的众多内容中渗透的微元思想，为学生解决物理问题提供了全新的视角和巧妙的途径.采用微元法可以将复杂、动态的物理问题简单化，具体解题方法可以概括为①无限分割：取元②寻找“元”规律③逼近：积分叠加.

例如：半径为R的半球形容器装满密度为ρ的液体.要将容器内的液体全部抽出,至少需要做多少功?用含ρ，R，π的式子表示.

解析将容器内的液体全部抽出需最少功即将所有液体抽到球心高度所需功的和.利用微元法解题如下：

1.无限分割：取“元”

如图2所示在距球心x处，取一高度为dx的液体.

2.寻找“元”规律

距球心x到x+dx处的液体体积为π×(R2-x2)×dx

将这些液体抽到球心至少做功为

W=ρgπx(R2-x2)dx

3.逼近：积分叠加

将所有功积分(从0积到R)

dW=ρgπx(R2-x2)dx

评析本题的难点是：每一部分液体被抽出的高度不同，无法利用公式求得所做的功.采取分割取元的方法，将一小段液柱为研究对象，再结合微元的物理意义，得到对微元内水柱做功的大小，之后运用数学工具再对整体叠加积分从而突破难点.

综上可见，微元法的本质是通过化静为动、化曲为直、化变为恒等方式，将物理模型巧妙的转化为数学问题，通过对“微元”累计叠加后再回归物理情境.这种从片断到整体的思维方式，为分析解决高中物理力学、电磁学中一些复杂的问题中提供了全新的思路，也为大学微积分的学习奠定了良好的基础，促进了学生的物理建模能力和数学思维能力的发展，极大提升了学生的科学素养.