基于MM估计的转子不平衡量的识别研究

柳林冲 张海鹏

摘  要：旋转机械转动质量的不平衡分布是造成其运行振动过大影响安全运行、加工设备制造精度不稳定等问题的重要因素，如何准确识别转子不平衡量的大小及相位是动平衡问题研究的重点。利用传统的最小二乘法计算的转子不平衡量受异常值影响较大。加权最小二乘法需要对振动数据的处理较为繁琐并且权重大小难以确定。现提出基于MM估计的转子不平衡量的识别方法，MM估计是同时基于M估计和S估计并吸收两者的优点以获得高的崩溃点和高的渐近效率的稳健回归方法，具有高效且稳健的优点。通过实验证明，该方法可以较准确的得到转子的不平衡量，从而提高动平衡校准精度。

关键词：转子动平衡;最小二乘法;MM估计;稳健回归方法

中图分类号：TH17         文献标志码：A           文章编号：2095-2945（2019）11-0015-04

Abstract： The unbalanced distribution of rotating mass of rotating machinery is an important factor that causes the excessive vibration of rotating machinery to affect the safe operation and the unstable manufacturing accuracy of processing equipment. How to accurately identify the size and phase of rotor unbalance is the focus of dynamic balancing research. The rotor unbalance calculated by the traditional least square method is greatly affected by the abnormal value. The weighted least square method needs to deal with the vibration data more tedious and the weight is difficult to determine. In this paper， a rotor unbalance identification method based on MM estimation is proposed. MM estimation is a robust regression method based on both M estimation and S estimation and absorbing the advantages of both to obtain high collapse point and high asymptotic efficiency. It has the advantages of high efficiency and robustness. The experimental results show that this method can accurately obtain the unbalance of the rotor， thus improving the accuracy of dynamic balance calibration.

Keywords： rotor dynamic balance; least square method; MM estimation; robust regression method

引言

机械结构产生振动的原因各种各样，但对于旋转机械来说转动质量分布不平衡是造成转子不平衡振动的主要原因之一，过大的不平衡量引起结构振动值增大影响设备使用寿命、无法达到要求的加工精度甚至会直接损坏机器造成重大事故等严重后果，所以研究转子不平衡量的准确识别并寻求控制和消除振动的方法，以减少振动的不良后果和危害具有很大的意义。在多年的研究过程中，国内外学者总结出了以响应系数法和模态平衡法为主的众多平衡识别技术方法，传统的影响系数法可以简单方便識别，但存在病态方程。最小二乘法和影响系数法的结合能够解决病态方程，但不具有稳健性;之前对于现代稳健回归方法各种估计量研究得出许多结论，例如LAV和M估计量的崩溃点相对较低但受数据具体形式的影响大，有时甚至比OLS估计量还差。本文通过研究MM估计对转子的不平衡量进行识别，具有较好的稳健性和高效特性，通过搭建实验平台设计特定实验证明，MM估计能够有效的识别转子的不平衡量。

1 理论依据及回归模型的建立

基于模型的转子不平衡量识别以实际转子系统为标准，建立有限元模型，然后根据初始状态下转子的振动信号和设定不平衡量后的振动信号得出振动信号差值[3]。已知转子不平衡量时可以求得不平衡响应，因此不平衡量识别实际是其逆运算。通常利用最小二乘法或加权最小二乘法求解，但其受噪声和测量误差影响较大。影响系数法也是转子动平衡理论运用中最常用的方法之一。

1.1 影响系数法

假设转子轴承系统是线性弹性系统，在平衡时已选定q个校准平面，n个测振点和m个平衡转速。如果各个校正平面上都没有加试重，在平衡转速wk时测出第i个测振点的初始振动适量，在第j个校正平面上半径为rj，角度为φj的地方加一个试重mj。但影响系数法存在病态方程，所以现经常采用影响系数法和最小二乘法相结合[4]。影响系数矩阵可采用有限元模型或历史平衡记录获得。

其中，[L]为各测点的残余振动;[L0]为转子在不平衡量下引起的各测点的初始振动;[A]为影响系数;[W]为校正质量。

1.2 最小二乘法

假设我们有n对观察值，图1给出了一个典型数据散点图和回归直线的估计，为了达到最好的拟合效果，德国科学家Karl Gauss提出了使垂直方向差异平方和最小的方法，即最小二乘法。

2 MM估计理论及方法

MM估计量最早由约哈依（Yohai，1987）提出，现在已经变得越来越流行，是目前使用最多的稳健回归技术。MM估计是在M估计基础上的稳健估计。这种估计使用了一个以上的M估计程序来计算最终的估计，用迭代再加权最小二乘法来求解最终估计，具有高崩溃点和良好的效率[5]。

通常取a=1.5，b=3，c=8，Hampel函数更为复杂一些，但当|u|>c时权因子取到了0，因此它具有更好的稳健性。

MM估计使用一种以上的M估计来计算估计值，保留了M估计的优点，成为目前应用最多的估计方法，MM估计采用的目标函数为Tukey双核函数（k=4.685）。MM估计的步骤如下：

（1）利用高失效点估计得到不平衡量的一个初始估计■0和对应残差r0;

（2）利用M估计得到残差r0尺度的稳健估计s0;

（3）利用残差r0及其尺度估计sn进行加权最小二乘的第1次迭代，得到转子不平衡量的M估计■1及残差r1，更新残差;

（4）重复2、3步，直到满足条件。

3 平衡试验及数据分析

通过搭建转子试验平台进行动平衡进行基于稳健回归分析的不平衡量估计方法的验证。考虑到转子支撑各项异性因素的干扰，分别在测振点设置相互垂直的传感器，转子实验台如图2所示。

完成轉子实验平台搭建后，首先检查试验系统各项指标合格后测试转子平衡状态下的波特图以确保转子无故障，如图3所示。

转子影响系数矩阵通过多次实验得到。在确定转子无故障前提下，在平衡面A处0°位置添加已知不平衡量0.8g，测量转子在此不平衡下两个测点的振动信息如图4所示。

通过以上结果可知，利用MM估计可以更好地识别转子的不平衡量，相对误差大大减少。根据MM估计得到的权重在转子一阶临界转速下减小，与转子一阶临界转速下转子振动数据存在异常值一致。

4 结论

在综合考虑计算效率和稳健性等因素，采用MM估计。通过MM估计得到的不平衡质量与传统的最小二乘法影响系数法相比较，具有更高的精确度，相对误差大大降低。应用MM估计识别转子不平衡量，降低了转子一阶临界转速附近的权重，与转子一阶临界转子下振动数据存在异常一致。在综合考虑计算效率和稳健性程度的情况下，基于MM估计的方法能够取得较为理想的不平衡量识别的效果。

参考文献：

[1]缪海林.基于模型的转子系统不平衡量识别的鲁棒方法研究[D].南京航空航天大学，2012.

[2]王海娜.线性回归模型的若干稳健估计方法及应用实例[D].山东大学，2013.

[3]臧延朋，温广瑞，廖与禾.基于稳健回归分析的转子系统不平衡量识别[J].振动、测试与诊断，2016.

[4]魏巍，张海鹏，谈演.基于M估计的转子不平衡量的识别[J].科技创新与应用，2018.

[5]罗伯特·安德森.现代稳健回归方[M].李丁，译.上海：上海人民出版社，2012：87-88.

[6]Pennacchi P，Chatterton S，Ricci R.Rotor balancing using high breakdown-point and bounded-influence estimators [J].Mechanical Systems and Signal Processing，2010，24（3）：860-872.

[7]杨庆华.用最小二乘法影响系数法对高速柔性转子的动平衡研究[J].机电工程，1998.

[8]Pennacch P，Vania A，Bachschmid N.Increasing the robustness of fault identification in rotor dynamics by means of m-estimators[J].Mechanical Systems and Signal Processing，2007，21（8）：3003-3029.