基于民族数学的学生理性精神培养*

2019-06-27唐恒钧陈碧芬

浙江师范大学学报（自然科学版） 2019年3期

唐恒钧, 陈碧芬

(浙江师范大学教师教育学院,浙江金华 321004)

随着立德树人作为教育根本任务的确立，德育引起了更多的重视与关注.而德育的实施既需要有专门的课程，也需要借助各学科的教育进行培养，即使是数学学科也能很好地开展学科德育教育.一些学者曾就数学的德育价值进行过论述[1].中小学数学课程和教学也在不断地强调数学学科德育.但从2013年新浪网发起的一次有关“数学是否该滚出高考”的调查中发现，参与调查的网友中约7成投了赞成票.许多网友吐槽数学的价值及学校数学学习的意义，其中一个典型的观点是将数学的价值简单地等同于实际应用，并进而认为学那么多数学知识没有多少意义.可见，数学的价值在相当一部分人的心目中被不恰当地窄化了，特别是未能充分地认识到数学的德育价值.因此，数学教育的德育价值及其培养途径是值得进一步探索的问题.理性精神的培养是数学德育的重要内容,文献[2]提出了理性精神培养的一些基本想法.笔者将进一步从民族数学的角度出发，讨论对理性精神及其培养的认识与做法.

1 理性精神并不是数学学习的自然结果

所谓理性，是人类具有的依据所掌握的知识和法则进行各种活动的意志和能力，是指“概念、判断、推理等思维形式或活动”[3].郑毓信[4]认为,理性是一个不断发展与演化的概念：早期的“理性”与“愚昧无知”相对立，即意识到世界的规律性及这种规律的可认识性；而其近代的一个重要涵义在于，人类超越感性经验束缚，借助理论思维,获得关于事物本质的深刻认识；就其现代发展而言，则包括了对于自我、对于自我与外在世界的关系、特别是对于人的认识能力的自觉反省.

就数学学科特点及其历史发展而言，其与理性有着某种天然的联系.自古希腊以来，毕达哥拉斯学派的“万物皆数”、柏拉图的理念世界及利用数学方法研究天体运动规律等，都表明数学在认识人类所生存于这个世界的规律上的价值.而数学的公理体系、逻辑论证等则为人类超越感性经验的束缚提供了工具，使人们认识到纷繁复杂、变化多样的外在表象背后的内在联系与本质特征.此外，数学广泛的应用性、数学建模及其预测功能等为理解人类与自然、社会的关系及解决问题提供了可靠的工具.克莱因[5]认为，“作为理性精神的化身，数学已经渗透到以前由权威、习惯、风俗所统治的领域，而且取代它们成为思想和行动的指南.”

基于此，数学教育也自然成为培养理性精神的重要载体.丁石孙[6]曾指出，“数学给人的不只是知识，而且是思想方法，数学是理性思维的典型.”然而需要引起重视与讨论的问题是，理性精神是否是学生学习数学的自然结果？一定程度而言，数学学习确实能提高人思维的逻辑性与严谨性，但却不必然地能使人具备理性精神.王光明等[7]在对东西方数学教育传统进行分析的基础上指出，“西方体现了为数学而数学的特征，而中国则更多体现了数学的工具价值，该工具价值或者体现为重视数学的技术化应用，或者体现为将数学学习与研究作为实现个人功利的手段，遮蔽了数学本身的理性价值.”

也有研究者对数学教育的现状进行分析后认为，数学尽管是一种思维科学，并充满着理性，但受应试教育、分数至上等方面的影响，以及受教师本身认识的限制，数学教学中仍以教知识、练技能为主，而“数学理性的光芒”被淹没在大量缺乏思想的运算、推理中，理性思维与精神并未得到有意识的培养[8].可见，数学学习中的理性精神需要有意识的培养.

2 民族数学是理性精神培养的重要载体

那么，数学教育中应通过什么样的途径与方式培养学生的理性精神？当下的学校教育在这方面还有哪些值得改善的地方？民族数学又能为学校数学教育提供怎样的补充作用？

理性精神至少体现在两个层面：一是理性思维意识与习惯，二是理性思维方式与能力.就当前的数学教学来看，后者是比较受到关注的.具体地说，教师要求学生在数学思考与表达上要有逻辑，能有依据地进行数学推理，这能使学生的思维方式更具理性，并且其理性思维能力也能得到提升.然而，低学段的学校数学因过于关注数学的具体性与直观性而未能很好地体现理性精神；而随着学段的升高，学校数学又会逐渐表现出数学体系的独立性与自我完备性，在更好地体现了数学理性精神的同时，却也使数学与现实世界的关系处于越来越明显的疏离状态.后者可能会导致，在数学学习中形成的理性思维方式与能力并不能迁移到与数学处于明显疏离状态的现实生活中.这也是指，理性思维的意识与习惯并不会随理性思维方式与能力的发展而形成，前者也有可能限制后者在现实生活中发挥作用.Civil[9]的研究发现，如果学生只是体验了如代数等数学，那么当学生第一次面对日常生活情境中的数学，或需要通过讨论、争论、发现，而不是直接给予的数学时，是很难接受的.

当然，从2000年以来的课程改革中，教师越来越关注数学与学生生活间的密切联系，以体现数学尤其是初等数学的生活本源，通过这种方式还能发展学生数学应用意识与能力.这从一定程度上是对理性思维意识与习惯的关注，因为这会要求学生学会用数学的方法去思考、解决生活中的问题.然而,这方面目前还存在两个主要问题:一方面，创设的情境过于理想化、明确化，学生一眼便能识别出这些问题“是一个数学应用题”，甚至很明确地知道用什么数学知识加以解决；另一方面，教学中的生活情境往往是背景性的，而非活动性的，即这些情境是在数学问题的基础上“套”上去的，其教学目的是为了引出数学知识，或使数学问题变得更加现实，因此这种情境往往是可以替换的.在教学过程中，在实现引出新知后，这种情境也就功成身退了.比如圆锥体的学习可以用蒙古包，也可以用稻草垛，还可以用农民喷洒农药时产生的水柱.而活动性生活情境中蕴含的数学问题是内在于情境的，教学过程是提炼情境中的数学问题并解决情境问题的过程.比如，一个班中常有多位同学生日相同的巧合，然后寻找到能解释这种巧合的数学知识，即“独立事件同时发生的概率”，教学过程是在解决这一问题的过程中展开的.这样的情境更开放、更自然，而且往往具有难以替代性.

基于上述讨论，笔者认为民族数学(ethno-mathematics,又被翻译成“民俗数学”)作为学校数学教育资源的一种补充，可以有效地促进数学教育在培养理性精神上的功效.所谓民族数学，是指不同文化中所产生与使用的数学，具有多种形态，“日常数学”便是其中之一.民族数学虽然在数学的严格性、体系性等方面不如学校课程中的数学来得精深和富有逻辑，但它与学生文化有着更密切的联系，并使其中的数学问题根植于背景之中.这类问题应用于教学，将使学生更加切实地感受数学之于生活的价值，形成用数学的眼光看待世界、用数学的思维思考世界、用数学的语言表达世界的意识与习惯，这也是理性思维的意识与习惯形成的一个重要方面.另一方面，民族数学又可以作为学校数学与现实生活间的一座桥梁，为学生理性思维能力的提升提供中介.郑毓信[10]在对民族数学与学校数学的优点、局限性进行分析的基础上，指出应将2种数学形态很好地融合起来.民族数学在内容上往往比较具体，又往往来自于学生熟悉的文化背景中，因此,将民族数学作为学校数学学习的出发点与背景，有助于为学生抽象的理性思维培养提供台阶.

3 挖掘并转化旨在培养理性精神的民族数学

如何挖掘具有针对性的民族数学，以培养学生的理性精神？一个可行的思路是依据理性及理性精神概念本身的发展阶段与层次挖掘具有针对性的民族数学，并转化为教学中可以使用的形态，具体可包括以下3个方面.

3.1 利用民族数学去昧破迷、把握世界规律

数学作为科学理性的典范，去昧破迷应是其重要的德育功能.对神明的笃信，将一些巧合现象归因于上天的启示，这是愚昧无知、宗教迷信的典型表现.可以通过民族数学，用数学方法解释如“巧合”等现象背后的科学规律，从而破除迷信.

比如，“托梦”就是一个典型的例子.有许多梦境会在做梦后的几天内发生在真实的生活中，这是一种巧合.但许多人会把这种巧合的原因归结为神秘的力量.事实上，除去“日有所思、夜有所梦”这一心理因素外，用数学来解释则能使人在对待这些事情上变得理性.具体而言，首先，能引起人们关注并认为“托梦”的往往是在他梦中和真实生活中都极少出现的事情，这种巧合会让人产生惊奇感.其实，每个人的梦境都是多种多样的，所以梦里的事与真实生活有所重叠也没有什么好稀奇的，也正因如此,许多梦境在真实生活中再现的巧合并不会引起人们的关注，能引起关注的只是那些很稀奇的事.其次，某个特定的稀奇事件发生的可能性是极小的(假设该事件明天发生的可能性是一百万分之一)，但能让人产生同等惊奇感的稀奇事件是不止一件的(假设这样的事件有100件)，因此，两件稀奇事件同时在某一天发生的可能性就会上升.另外，人的感受是有一定的延续性，即今天的梦境在之后的一周内、一个月内甚至一年内发生都会让人产生惊奇感，只不过强度不一样.那么按照上述假设，利用独立性事件概率的数学知识便能发现，一个人在20年中发生上述巧合的可能性会超过一半.换一个视角思考这个问题，在认识的20个人中，一年内会有上述巧合发生在他们身上的可能性超过了一半.当然,这个例子的讨论是有很大的主观性，因为什么是百万分之一的稀奇事件是很难确定的，这只是人的主观感受而已.但无论如何，数学为我们平常的巧合提供了一些解释，而无需求助于神秘力量.

3.2 利用民族数学促成感性体验向理性思维的转变

民族数学一方面有助于学生丰富具体而直接的文化体验，另一方面又蕴含着深刻的数学思维，这为学生由感性体验向理性思维的转变提供了可能.以下将以数学美的欣赏到数学模式的认识与建构为例，来说明民族数学是如何为学生理性思维的发展提供载体的.

图形模式的重复与变换是产生数学美的一种重要方式.图1展示了澳大利亚墨尔本皇家展览馆正门上方的孔雀图案，利用灯光效果和以孔雀头为圆心的3个同心圆产生了立体效果.从数学角度来看，该图案既可以看作是由最左侧的扇形以孔雀头为圆心、经过11次旋转变换得到，而每个扇形用拥有光源的内侧小扇形、中间近似的椭圆形(下称“类椭圆形”)和外侧圆形加以填充；也可以看成是3个同心圆面上图案的迭代变换关系，即最靠近圆心处的扇形、中间类椭圆形和最外侧的圆形，这也可以被看作一个近似的相似变换.图2悉尼歌剧院的图案模式与图1有相近之处，也体现了以同心圆为基础的相似、旋转变换等数学模式，只是由图1的平面图形变成了图2中的立体图形.图3显示的墨尔本城市购物中心的屋顶则进一步在圆锥体中体现了相似、旋转等变换模式，而如果将该屋顶中的几何模式投影到一个平面上，则与图1又具有完全相同的图形变化模式.当图3中的圆锥母线变成圆弧状或直线和曲线的组合形态时，即可演变出图4和图5中的建筑艺术.上述建筑图形能让学生直观地感受建筑之美，也能认识到其背后的数学元素.而当具有上述图形模式的图案有序呈现时，学生的注意力便会从单纯的审美转向模式的识别，即从对具体几何图形的关注转向这些图案中蕴藏的图形变化规律与模式，思维方式也会从具体转向抽象.更进一步，让学生在模式识别的基础上，欣赏与建构新的图案时，抽象思维又在现实中得到了应用，而这又会反过来提升理性思维的能力.

图1 墨尔本皇家展览馆图2 悉尼歌剧院图3 墨尔本城市购物中心

3.3 利用民族数学促进自觉反省

传统的学校数学常给人以绝对的确定性与客观性的误解，甚至出现对数学真理性、先验性的迷信与盲从.从基础教育的角度而言，上述现象也有其价值，比如视数学为真理的标准，从而强化对数学的重视程度；又如在教学中会强调对数学基础知识的学习，以奠定较好的数学基础.但另一方面，这也会造成人们数学观念的狭隘性，忽视人类在数学创造中的能动性.随着我国数学课程改革中对数学过程的强调，上述问题可能在一定程度上会得到缓解.而民族数学能在其中起到较好的补充作用.首先在观念层面，民族数学承认不同的文化群体在创造或使用上也许不同于学校数学的数学形态,即是承认数学是人类的一项创造性活动，而且受相应文化的影响.因此，在学校数学学习中呈现如不同文化中多样的计数方式、加减算法、空间模型等，能让学生感受到数学的文化相关性与人类的创造性.其次，由于民族数学与学校数学的思维方法有时存在差异，因此,将民族数学中多样的数学方法纳入学校数学教学中又能拓展学生的思维，为学生比较、反思与优化思维方法提供载体.