一个不可微算子的二步迭代法在ω条件下的半局部收敛分析*
2019-06-27徐秀斌何宁杰
徐秀斌, 何宁杰
(浙江师范大学 数学与计算机科学学院,浙江 金华 321004)
0 引 言
随着科学技术的迅速发展,求解非线性算子方程在工程技术中已有广泛的应用,但如可应用于非线性微分方程、边值问题和积分方程组求解等领域是学术界关注的焦点.设X,Y是Banach空间,Ω⊆X是一非空开凸子集,H:Ω⊆X→Y为非线性算子,考虑求解非线性方程
H(x)=0.
(1)
一般情况下,通常用迭代法求解非线性方程(1)的根,如果H是一个可微算子,那么Newton法[1-4]就是解方程(1)最常用的迭代方法之一,其迭代格式为
xn+1=xn-[H′(xn)]-1H(xn),n=0,1,….
(2)
但是,这种方法需要算子H′的存在性,若算子H不可微,则无法使用Newton法解方程(1).在这种情况下,通常使用差商法去逼近Newton法中的算子H′(xn).记L(X,Y)为从X到Y的所有有界线性算子组成的空间,对x,y∈Ω,若[x,y;H]∈L(X,Y)满足
[x,y;H](x-y)=H(x)-H(y),
(3)
则称[x,y;H]为算子H在点x和y处的一阶差商.
文献[5]提出了与Newton法有相同收敛速度的线性插值法,且无需求解H′(xn),迭代格式如下:
(4)
文献[6-8]把H拆成以下两部分:
H(x)=F(x)+G(x)=0.
(5)
式(5)中:F是可微算子;G是连续不可微算子.
许多学者对Newton法作了二步修正[9-11],研究了半局部收敛性.文献[12]提出了如下类似于二步修正Newton法的二步迭代法:
(6)
证明了在Lipschitz条件下的半局部收敛性.
文献[13]引入了如下迭代法:
(7)
证明了该方法在一类ω条件下的半局部收敛性.
受文献[12-13]的启发,本文将讨论迭代式(6)在ω条件下的半局部收敛性,同时证明解的唯一性.
1 半局部收敛性分析
这一节研究迭代法的半局部收敛性.取初值x0,y0∈Ω,并且假设:
1)‖y0-x0‖≤2α.
3)∀x,y∈Ω,
‖F′(x)-F′(y)‖≤ω1(‖x-y‖).
(8)
式(8)中:ω1:R+→R+是一个连续不减的函数;ω(0)≥0.
4)∀x,y,u,v∈Ω,
‖[x,y;G]-[u,v;G]‖≤ω2(‖x-u‖,‖y-v‖).
(9)
式(9)中:ω2:R+×R+→R+是关于2个变量都连续不减的函数;ω(0,0)≥0.
定理1假设条件1)~4)成立,记
m=max{β(ω1(η)+ω2(2α+η,0)),β(ω1(η)+ω2(2η,0))}.
不妨再设方程
(10)
存在最小正根r.如果
即x1∈B(x0,r).根据Taylor公式得
(11)
另一方面,由差商公式可知
G(x1)-G(x0)=[x1,x0;G](x1-x0).
(12)
结合式(11)和式(12)可知,
H(x1)=F(x1)+G(x1)=H(x0)+F′(x0)(x1-x0)+
-(F′(x0)+[y0,x0;G])(x1-x0)+F′(x0)(x1-x0)+
[x1,x0;G](x1-x0)-[y0,x0;G](x1-x0)+
(13)
从而
‖H(x1)‖≤‖[x1,x0;G]-[y0,x0;G]‖‖x1-x0‖+
(ω1(η)+ω2(2α+η,0))‖x1-x0‖.
(14)
又因为
所以
‖y1-x0‖≤‖y1-x1‖+‖x1-x0‖≤[1+β(ω1(η)+ω2(2α+η,0))]‖x1-x0‖ 即y1∈B(x0,r).由x1,y1∈B(x0,r)得 β(ω1(α+r)+ω2(2α+r,r))<1. (15) 即x2有定义. 由式(14)和式(15)可得 (16) 因此, ‖x2-x0‖≤‖x2-x1‖+‖x1-x0‖≤(M+1)‖x1-x0‖≤r, 即x2∈B(x0,r). 类似于式(13)可得 H(x2) =F(x2)+G(x2)=H(x1)+F′(x1)(x2-x1)+ -(F′(x1)+[y1,x1;G])(x2-x1)+F′(x1)(x2-x1)+ 从而 ‖H(x2)‖≤‖[x2,x1;G]-[y1,x1;G]‖‖x2-x1‖+ (ω1(η)+ω2(2η,0))‖x2-x1‖. (17) 所以 M‖x2-x1‖≤M2‖x1-x0‖; ‖y2-x0‖=‖y2-x2‖+‖x2-x1‖+‖x1-x0‖≤ M2‖x1-x0‖+M‖x1-x0‖+‖x1-x0‖≤(M2+M+1)‖x1-x0‖ 因此,y2∈B(x0,r). 假设xn,yn∈B(x0,r),则 β(ω1(α+r)+ω2(2α+r,r)) < 1. 所以Ln的逆存在,且 ‖xn+1-xn‖≤M‖xn-xn-1‖≤Mn‖x1-x0‖≤η. 类似于式(13)可得 H(xn) =F(xn)+G(xn)=H(xn-1)+F′(xn-1)(xn-xn-1)+ -(F′(xn-1)+[yn-1,xn-1;G])(xn-xn-1)+F′(xn-1)(xn-xn-1)+ [xn,xn-1;G](xn-xn-1)-[yn-1,xn-1;G](xn-xn-1)+ 从而 ‖H(xn)‖≤‖[xn,xn-1;G]-[yn-1,xn-1;G]‖‖xn-xn-1‖+ (ω1(η)+ω2(2η,0))‖xn-xn-1‖. 所以 M‖xn-xn-1‖≤Mn‖x1-x0‖. 那么 ‖xn+1-x0‖≤‖xn+1-xn‖+‖xn-xn-1‖+…+‖x1-x0‖≤ 故xn+1∈B(x0,r).从而证得由式(6)产生的序列{xn}是有定义的,且含于B(x0,r)中. 下证{xn}是柯西列.∀q∈N,有 ‖xn+q-xn‖≤‖xn+q-xn+q-1‖+‖xn+q-1-xn+q-2‖+…+‖xn+1-xn‖≤ (18) ‖H(xn)‖≤(ω1(r)+ω2(2r,0))‖xn-xn-1‖, 所以当n→∞时,‖xn-xn-1‖→0.由H(x)的连续性可知,H(x*)=0. 则 L(y*-x*)=H(y*)-H(x*)=0. 因此,如果L-1存在,那么必有y*=x*.实际上, βω2(‖y*-y0‖,‖x*-x0‖)≤β(ω1(r)+ω2(r+2α,r))<1. 由Banach引理可知,L-1存在,故y*=x*.定理1证毕. 考虑条件3)和4)的特殊情形: 3′)∀x,y∈Ω, ‖F′(x)-F′(y)‖≤K‖x-y‖,K>0. 4′)∀x,y,u,v∈Ω, ‖[x,u;G]-[y,v;G]‖≤K‖x-y‖+K‖u-v‖,K>0. 则得 推论1在1),2),3′)和4′)成立的条件下,设m=max{βK(2α+2η),3Kβη}.假设方程 考虑下列非线性方程组: (19) 式(19)中,(x1,x2)∈Ω:={(x1,x2)∈R2|x1,x2>0}.令 F=(f1,f2),G=(g1,g2). 易知 因此, α≈0.116 5;β≈0.753 6;η≈0.230 4;m≈0.341 1;r≈0.500 3. 且β(ω1(α+r)+ω2(2α+r,r))≈0.632 2<1,M≈0.927 4<1.从而满足了半局部收敛结果的假设,解的唯一性区域为{x∈R2:‖x-x0‖≤0.500 3}. 讨论了具有不可微算子的二步迭代法的半局部收敛性,证明了非线性算子F的一阶导数和非线性算子G的一阶差商满足ω条件下的半局部收敛定理,推广了文献[12]的结果.但本文未给出不可微算子的二步迭代法在ω条件下的局部收敛定理及收敛半径,这是以后还可以继续研究的课题.2 数值例子
3 结 语