数学教科书中的非语言元素分析——以浙教版八年级数学教科书为例*

张维忠， 胡智慧

(浙江师范大学 教师教育学院,浙江 金华 321004)

非语言元素(nonverbal elements)是教科书中非文本部分的重要组成部分，特指教科书中的所有图像[1〗.在数学教学领域中，非语言元素对数学概念的形成与表征有着重要的作用，同时在难以用文字语言表达学习内容的情况下，非语言元素能以更接近学生认知的方式呈现学习内容，从而弥补文字表达抽象的不足，更生动直观地呈现教科书的知识点.《义务教育数学课程标准(2011版)》在教材编写建议中也强调“教材应具备可读性，易于学生接受，激发学生学习兴趣，为学生提供思考的空间……教材的呈现可以将实物照片、图形、图表、文字、数学符号等多种形式结合起来.”[2]因此，从非语言元素的视角对我国数学教科书进行分析，探讨我国数学教科书中非语言元素的类型及指向功能，以期为教科书编写者合理设置非语言元素及数学教师利用非语言元素有效实施数学教学提供启示与借鉴.

1 研究对象与分析框架

1.1 研究对象

选取浙江教育出版社出版的八年级上、下两册数学教科书(以下简称为“教科书”)为研究对象[3].为了方便统计，笔者将教科书中所有章节参照《义务教育数学课程标准(2011版)》分为“数与代数”“图形与几何”“统计与概率”三大领域，每一领域包含的章节如表1所示.

表1 教科书章节按领域分类

1.2 分析框架

国内关于非语言元素的研究主要集中在插图这一方面.如张文宇等[4]在中美小学数学教科书插图比较研究中对内容和功能维度作了分析，按内容分为数据图表图、模型图、卡通图、生活图、史料图，按功能分为装饰型、表征型、解释型；孙庆括[5]在前者基础上结合数学教科书特点，将插图分为生活类插图、纯数学类插图、肖像图和实验图4类.也有学者对插图的文化取向进行了深入分析，如张维忠等[6]从多元文化视角对我国3个版本的初中教科书在国家文化、阶层文化、性别文化和区域文化4方面进行了分析与讨论.从文献综述来看，大部分研究者没有重视几何图形这一非语言元素，仅将其包括在纯数学图形这一类型，所有插图都用同一个功能分类模型.但是，这种做法存在一定的不合理性.有研究者指出，我国数学课程标准中“图形与几何”在内容分布中占到一半[7]，在数学教科书中所占比例为40.18%[8]，因此在初中教科书中，几何图形是不可忽视的非语言元素.Gunzel等[1]提出了非语言元素类型和功能的分析框架，该分析框架将非语言元素划分为：精确的几何形状、图片或照片、统计表与统计图、表格形式及其他5种类型.其中对精确的几何形状进行了功能分类，分为解释型、构建型和探究型；对图片或照片的功能分为数学类和非数学类.这一研究对本文有重要参考价值，但对于图片或照片的功能划分仍不够深入.因此，本文根据研究内容对该模型进行必要的调整与改进，综合Gunzel及多位学者的研究，对各类型的功能进行重新划分，并结合具体的教科书建构了如下非语言元素的分析框架(见表2).

表2 非语言元素分析框架

需要指出的是，一些图形为组合图形，是精确几何图形与图片的结合，本文将其归到图片这一类型中.精确的几何图形也包括数轴、直角坐标系、直线、抛物线、双曲线这些解析几何图形.若一个图形在题目中被使用2次，且使用的功能不同，则按2次计算，否则按1次计算.

2 非语言元素类型与指向功能分析

2.1 非语言元素类型分析

教科书对非语言元素的使用丰富多样.研究发现,教科书中非语言元素类型的分布有如下特点(见表3)：1)各类型非语言元素在教科书中分布不均衡.其中精确的几何形状类型占整个非语言元素数量的64%，数量最多.最直接的原因是在八年级教科书中“图形与几何”这一领域有关章节约占整体的45%，而几何知识用语言描述过于抽象，因此都是以几何图形为辅助，以便达到直观明了的效果，方便学生思考.图片与照片类型共有221处，在各领域中使用的频率都较高，这一类型中非语言元素大都与生活情境或数学历史文化息息相关，突显了数学课程标准中数学教学回归生活和渗透数学历史文化的理念.2)各类非语言元素在教科书不同领域中分布特点不同.在“数与代数”领域中，精确的几何图形与图片或照片这两类非语言元素所占比例最高.我国数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微.”数形结合一直是贯穿整个中学数学的重要思想方法，因此,用数轴表示数的范围，用函数图像表示数学函数表达式等在“数与代数领域”中应用得非常广泛.在“统计与概率”领域中最主要的是数据的收集与表示，大都用统计表和统计图的形式，因而在统计与概率中，统计表与统计图这一非语言元素是最突出的.

表3 教科书中非语言类型统计

2.2 非语言元素类型指向功能分析

2.2.1 精确的几何形状类型的指向功能分析

从功能维度分析，在精确的几何形状类型中(见图1)，解释型(76%)在教科书中使用最为普遍.解释型能将呈现的抽象和复杂的数学内容变得直观，有利于培养学生的直观想象数学素养.如教科书在用文字描述三角形的中线、高线、角平分线的定义时，会在旁边附加解释型的图形，或大部分的几何习题中都会给出题目表示的几何图形.

建构型在教科书中所占比例最少，约为10%，一般用于探索解决问题的思路或用几何图形建构模型来解决问题.如在几何证明的解题中，呈现添加辅助线后的几何图形作为图示，学生可以借助建构型的几何图形来寻求解题的灵感.再如教科书中非常重视数轴的使用，在“认识不等式”这一章节中，常用数轴表示不等式，借助数轴比较数的大小.这种作为数学模型的几何图形，能建立数与形的联系，蕴含着数形结合及一一对应的数学思想方法.

图1 精确的几何形状类型的指向功能统计

探究型的几何图形使用也较少(14%)，通常是一个数学问题的几何图形.例如在“平行四边形及性质”一课的探究活动中，已知四边形ABCD，若把它改成一个以AB为一条底边的梯形或平行四边形，并保持面积不变，可以怎样改？请画图说明.探究型的几何图形还有一个重要的功能便是利用几何图形来证明数学命题，如教科书中利用赵爽弦图让学生探究勾股定理.但是教科书对于勾股定理更多的图形证明方法却未介绍，刘徽在《九章算术》中介绍的“出入相补法”[9]，国外学者Weber等用了不同的分割方法，都是直接用图形去证明勾股定理[10].这些介绍既能让学生了解几何图形探究功能的强大之处，也可以让学生感受到多元文化之间的碰撞与交融.

2.2.2 图片类型的指向功能分析

从图片或照片这一类型来看(见图2)，装饰型(34%)最为常见，但和数学文本关联度不大，只是为了增加教科书的美观.这些图片皆具艺术性，能够使学生在使用教科书时缓解疲劳感，也可以培养学生的艺术欣赏水平.有研究显示，图片的呈现要符合学生的心理特点和认知规律，否则，不仅不能有效提高学生的解题能力，反而会分散学生的注意力，尤其是对于学习困难的学生来说，由于他们更容易受其他刺激的干扰，因此教科书需谨慎地使用这一类图片[11].还有一些是和数学史有关的历史人物和资料的图像，如在“证明”这一章节末，在介绍费马和他的猜想中提供了费马和怀尔斯的肖像图，以及纪念邮票图，体现了浓厚的数学历史文化.表征型、解释型、探究型的图片与数学文本的关联性较强，在教科书中约占66%.表征型(16%)和探究型(23%)的图片大都源于真实生活，表征型图片可以建立起数学与生活的联系，将数学概念具体化、可视化，同时也能让学生感受到数学是从现实世界中抽象而来.例如温度计表示的数轴、巴黎铁塔中的三角形、甘肃永昌出土的菱形图案、比利时地毯中的菱形图案等.探究型的图片是在现实生活的图片中探究数学的性质，例如寻找印度泰姬陵图片中的轴对称图形，判别中国结的对称性，探究地图上点的位置关系等.

图2 图片类型的指向功能统计

2.2.3 表格形式类型的指向功能分析

表格形式类型的指向功能主要分为2种:一种是任务型(共18处)，在浙教版数学教科书中最为典型的是在一元二次方程这节的课内练习中(见图3),任务型的表格能够反复考察学生对知识点的运用或一个知识点多种形式的转化，有利于学生巩固知识，形成基本技能;另一种为评价型，放在章节末的小结中，作为一种评价工具(见图4)，共11处，对学生起到诊断与激励作用.学生可以通过该表格诊断自己对本章节知识的掌握情况，从而激发学生自身的学习动力.教师可以通过收集学生的该表格来反思当前的教学，起到评价的调控作用.

图3 数学任务型的表格形式

2.2.4 其他类型的指向功能分析

统计发现，教科书对于强调数学文本这一功能的非语言元素都是用箭头加便笺的形式去突出数学文本，并没有深入到内容上用符号或标志去强调数学内容.对阐释数学本质的非语言元素非常少，浙教版数学教科书两册书中仅4处.这一类型的非语言元素大都是利用思维导图组织知识框架，突出数学核心概念，加强数学内部的联系.如四边形、平行四边形、矩形、菱形、正方形之间转化的关系图；有理数的分类图等.

图4 评价型的表格形式

由于统计表和统计图的非语言元素仅呈现数据及趋势这一功能，因此不作详细阐述.

3 结论与启示

3.1 结 论

3.1.1 精确的几何形状类型中建构型和探究型功能的非语言元素所占比例较低

从分析中可知，教科书中建构型和探究型分别占10%和14%，在教科书中使用得比较少.更进一步讲，根据布鲁姆教育目标分类学的知识维度，教科书中的知识可分为4种类型：事实性知识、概念性知识、程序性知识、元认知知识[12].建构型和探究型的几何图形往往是解决问题的方法、探究问题的途径，能够表现程序性知识.同时建构型和探究型可以培养学生的数学思维，促进学生数学元认知知识的学习.因此,这也说明教科书在促进学生程序性知识和元认知知识这些高水平认知的非语言元素数量设置上相对较少.

3.1.2 图片类型重视各种功能的非语言元素的运用

教科书对图片类型各种功能的非语言元素均比较重视，注重数学与现实生活的联系，让学生在源于真实生活的图片情境中学习数学，培养学生学会用数学的眼光观察世界，用数学的思维思考世界，用数学的语言表达世界.在图片类型中，4种功能的非语言元素所占比例相当.虽然表征型最少，只占16%，但是对于能用现实生活中事物表征的概念，教科书都会用表征型的图片来呈现.以三角形这一章节为例，在章首位置，用铁塔、吊车悬臂图片来引发学生对三角形的认识及三角形性质的思考；在三角形全等的判定中采用了钱塘江大桥图片展示现实生活中的全等三角形结构；在三角形的稳定性中呈现大桥的钢梁，起重机的支架图片，让学生感受到三角形结构起到的稳固作用.

3.1.3 其他类型对阐释数学本质功能的非语言元素重视不够

浙教版数学教科书在八年级两册教科书中，仅4处是阐释数学本质的非语言元素，出现在“三角形的初步认识”“特殊三角形”“特殊平行四边形”这3个章节中，这说明教科书已注意到这一功能的非语言元素，特别是在“特殊平行四边形”章节中，用这一类型的非语言元素，清晰、明了地展现了四边形、平行四边形、菱形、矩形、正方形之间的关系及相互转化的条件.但从所占数量上看，教科书没有给予一定的重视.建议在每一章节的小结中设置这一类非语言元素，作为对这一章节知识点的梳理.

3.2 启 示

3.2.1 注重构建型、探究型功能和高水平认知的非语言元素对学生数学思维培养的作用

非语言元素的数量并非越多越好，应以激发学生思考、提高学生的数学素养为出发点.从浙教版数学教科书来看，体现高水平认知的非语言元素数量较少，而能达到培养学生思维创造能力的非语言元素更是少之又少.有研究者指出，高认知水平数学教学任务为学生提供了运用高水平的思维和推理的机会，日复一日，学生从高水平任务中体验到的累计效果，就在于学生对数学本质的认识得到潜在的发展，创新精神和创造能力得到提高[13].同样，体现高水平认知的非语言元素也能培养学生的创新精神和创造力，例如通过介绍多元文化下勾股定理的各种几何证明，几何图形中的黄金分割发现等探究型功能的非语言元素，培养学生发现和探索几何图形的各种性质的创新思维.再如在轴对称与中心对称章节中，联系数学文化，介绍舍埃尔《变形》《天和水》等利用平移、旋转和反射的概念创作的艺术作品[14]，让学生尝试用简单的几何图形通过变换得到更多有艺术性的数学图形，在图形探究中培养学生的创造力等等.

3.2.2 重视阐释数学本质功能的非语言元素，体现数学的内在逻辑

无论是义务教育阶段还是高中阶段，数学课程标准都强调要注重突出数学的核心内容，突显数学的内在逻辑，注重数学内容之间的相互联系，体现数学的整体性.教科书要落实这一理念，可以通过添加阐释数学本质类型的非语言元素来实现.一些数学概念间关系的流程图可以体现数学内容之间的相互联系，基于数学核心内容框架体系建立的思维导图能突出数学主线.这些都有利于学生对数学知识的理解与掌握，让学生学会用联系的观点去看待数学，感受数学的整体性与统一性.因此，教科书应重视这一类型的非语言元素，深入到数学内部，准确把握数学的本质，捋清各部分内在的逻辑关系，突出数学思想方法，从而更集中地聚焦学生数学核心的素养.