基于数学核心素养的概念教学

邹卫刚 俞小英

摘要：数学概念是人们对某一件数学事物由感性认知上升为理性认知的一种概括定义，是数学学习与研究的基础，是激发与升华数学思维的保障。而高中数学课堂中，从学生学习角度分析，概念教学基本分为概念认知、概念辨析、概念应用这三个环节，而本文研究的就是概念认知这个第一环节。学习的主体是学生，概念的认知是教师给予，学生在探索中发现生成的，学生对概念的本质理解是至关重要的。很多教师认为概念的生成是浪费时间的过程，只要通过自己的解说，将概念解释清晰，学生努力接受并理解，概念认识环节就成功完成。事实上，对于数学概念，若学生被动地接受理解，更多的是对概念的记忆性理解，而如果是学生探索过程中逐渐生成概念，更多的是对概念的本质性理解，显然，后者是正确之道。本文我们将根据不同的概念类型，通过实际教学案例，谈谈概念生成的相应策略。

关键词：数学教学;核心素养;概念教学

中图分类号：G633.6   文献标识码：A   文章编号：1992-7711（2019）01-0110

一、“命名型概念”的生成，寻找本质

高中的数学概念有些实际上是“穿了新衣的旧人”。有的概念从本质上来讲并不是新内容，是我们在高中前的学习中已理解并掌握的知识，因为知识体系或其他原因的需求，才给予新的命名，形成了新的概念，这种概念笔者将它归类为“命名型概念”，此类概念的生成，只需将已学知识复习强化，重新命名，并让学生明确是“旧人新衣”，概念自然就生成，而且明确概念的本质。

案例1：函数的零点概念教学

分析：“函数的零点”这一概念，实质是函数图像与x轴交点的横坐标。而根据学生的认知，函数图像与x轴的交点以及它的横坐标是已经掌握的知识。因此该节课只需复习强化函数图像与x轴的交点问题，然后，将这个旧知识取个新名称即可。笔者认为该概念的生成可以设计如下。

问题1：请完成以下表格，并回忆以前所学的相关知识。

问题2：从以上表格中，你能否总结出方程的根和相应函数图像与x轴交点的横坐标的关系？

问题3：某一函数图像与x轴交点的横坐标很重要，它和相应方程的根相等，那么我们是否可以给他定义一个名词？它的本质是f（x）=0时x在坐标轴上的取值，因此，我们把它称为函数的零点。

小结：函数的零点，就是函数图像与x轴交点的横坐标，是我们初中就已认知的内容，如今我们给了它一个新的名词，同时它与相应方程的跟相等。

在此案例中，很自然地就生成了函数零点的概念，学生也十分清晰，此概念从本质上而言，并不算是新知识，只是旧的内容给了新的名称。概念掌握了，本质也明确了，缘由也清楚了。

二、“相似型概念”的生成，寻找同胞

高中数学知识体系决定了我们学习的很多概念都存在相似性。比如指数函数和对数函数、等差数列和等比数列等，在已学知识的基础上，只需根据同胞的内容与特征，通过类比的方式，自主完成概念的生成即可。

案例2：等比数列的概念教学

分析：在学习等比数列时，学生刚刚完成等差数列的研究与学习。根据两个概念的相似性，我们只需复习等差数列，类比总结，让学生自主生成等比数列概念。

问题1：根据已学知识填写表格第一列空格，并通过类比的方法，猜想并填写表格第二列空格。

问题2：请根据以上表格，探究等比数列与等差数列在本质上的相似性，并说说他们的特殊性对我们研究数列的意义与作用。

问题3：请根据以上表格，探究等比数列和等差数列的区别，并说一说我们在解决等比数列中要注意的细节问题。

小结：等比数列和等差数列在实质上的形似性在于：数列的后一项与前一项都有简单并特殊的关系，这层关系使我们较为方便的研究这两类数列，同时也可以在实际生活中运用知识解决符合这两类数列模型的问题。

此案例中，通过类比的方法，学生通过已学知识，轻松自主完成对等比数列这一概念的生成，并且能够充分挖掘两类数列的共同特征，从而进一步加深对两类特殊数列的认识与理解。如此自主类比生成的概念，是无需教师后期强化记忆的，从认知角度而言，这是学生自发形成的知识，其印象的深刻性是教师的传授所无法比拟的。

三、“全新型概念”的生成，寻找缘由

某些高中数学概念对于学生而言是陌生人。在这种情况下，概念教学往往会比较困难，如果引导生成设计不够合理，概念的给出就会显得十分突兀，最后的结果只能是学生被动理解。这种情况下，教师不妨尝试把此概念形成的缘由和背景用形象的方式展示给学生，让学生了解我们为什么要学习此概念，此概念的学习对我们数学知识体系的衔接与完善，对数学知识的应用有何作用。

案例3：集合的概念教学

分析：集合，是学生进入高中学习的第一个概念。因此，如何自然地清晰生成此概念，对于学生对整个高中数学学习的兴趣与信心都至关重要。其实，集合是我们高中代数的重要工具，因此，我们在引导教学时，完全可以把这一目的意义展示给学生，让学生知晓学习此概念的缘由。

问题1：某校很多班级的学生一起在操场上上体育课，此时听到教师吹哨喊：“集合！”，高一（1）班的A同學对此口令没有反应，继续打球。教师补充一句：“高一（2）班同学，集合！”A同学听到后，立马停止活动，迅速集合。请你分析一下这两个情景的原因？

问题2：生活中，我们经常需要根据某一需求将某些事物归类，如所有的自然数，我们校园内的所有梧桐树，A同学的所有文具等，我们能否用一个统一的概念来定义它们呢？如此既可以方便我们的描述，又可以完善我们的数学体系。

如此引导，学生比较自然地接受集合是我们实际生活及数学研究中经常碰到的一个概念，我们有必要将其归纳，以方便我们今后的学习。同时，也将集合这一概念的特性在概念的生成中形象地展示，学生可以轻松明确集合的确定性这一性质。

四、“抽象型概念”的生成，寻找代表

数学的许多概念，都是对生活中事物的理性认知，是对具体事物的抽象定义。因此，在实施抽象型概念的教学时，我们就要还原概念的具体模型，寻找抽象概念的代表，还抽象于形象，拉近学生的认知领域，降低认知难度，从而较好地生成概念。

案例4：函数概念的教学

分析：函数的概念是高中抽象概念的典型代表，很多时候，教师灌输式的教学，让学生对突然出现的集合和对应关系不知所云，导致学生对高中数学的学习产生畏惧心理，打击学生的学习兴趣与信心。笔者认为，对于抽象的概念必须还原成具体形象的实例，让学生感受从具体到抽象的过程，让学生亲身经历概念的生成。

问题1：某汽车以60km/小时的速度匀速行驶，行驶里程为S千米，行驶时间为t小时，先填写下表，并用t的式子表示S。

以上事件中，有几个量的取值在发生变化？有几个量数值未发生变化？常量和变量如何定义？变量和变量之间有无某种联系？你能否运用初中所学数学知识来描述这种联系？在此，学生会提到自变量、应变量、正比例函数等知识。

问题2：下列四个图像中，分别有哪几个图像与下表述的三件事较为吻合？

（1）离开家不久，发现自己好像忘带作业本，于是停下在书包寻找，没找到，就返回家，找到作业本再上学。

（2）一路匀速汽车上学，中间遇到一个红绿灯稍等片刻，后继续匀速抵达学校。

（3）出发上学，走了一段后发现快要迟到了，于是加速一路小跑，来到学校。

由图像可得知，每一个确定的时刻，都有一个确定的距离值与它对应，让学生再一次体会学生离家的距离与学生离家的时间两个变量之间的这种关系。

问题3：以上两个问题中，都是一个变量和另一个变量的一种关系，并且确定其中的甲变量的值，即可确定乙变量的值，这种变量之间的关系在问题1中我们可以表述成正比例函数，那么问题2中呢？它们是不是也算一种函数关系？你是否能用已学的函数表达式来表示？

通过两个具体问题，揭示了函数的本质是变量与变量之间的一种特殊的对应关系，同时也让学生体会到初中所学的三类函数是具体的函数，而我们的函数应该是具有相同特征的变量对应关系的抽象概括。这样，既具体还原了函数的实例，同时又明确了函数这个抽象概念的本质特征是什么。用实际问题来揭示变量之间的一种对应关系，显然比直接用抽象符号去教学要形象得多，学生也可以从函数的学习中生成函数的抽象定义。

五、“难点型概念”的生成，寻找阶梯

数学中的某些概念的理解，往往某些点是学生难以跨越的难点。若教师在概念生成的教学设计中，能预设拆分这个难点，为学生搭好台阶，相信对学生准确生成概念是十分有帮助的。

案例五：古典概型的概念教学

分析：古典概型是高中概率问题中的一类经典类型，它的两个显著特征（基本事件的有限性和等可能性）是理解概念的關键。而第二个特征等可能性往往是学生理解概念中的难点。究竟什么是基本事件等可能，很多学生是模糊不清的。以至于后面在解决概率问题时，会将古典概型的公式应用至非该概型的问题上。笔者认为，在教学中，我们可以利用问题串的形式为学生铺设台阶，然学生一步一步地体会等可能性的真正意义。

问题1：摸球游戏中，假设袋中有大小形状相同的四个球，红、黄、白、黑各一个，若从中任取一球，则得到红球的概率是多少？

问题2：摸球游戏中，假设袋中装有大小形状相同的红球3个，白球1个，从中随机抽取一球，问得到红球的概率是多少？（该题中，学生有意见分歧，绝大多数学生觉得答案当然应该是1/4，但部分学生根据古典概型计算方法，列出了基本事件{红球}、{白球}2个，于是认为答案应该是1/2。这时，学生显然还未对基本事件的等可能性有准确把握，于是继续设问。）

问题3：摸球游戏中，假设袋中装有100个大小形状相同的球，其中红球99个，白球1个，从中任取一球，则得到红球的概率是多少？（类比上问，此题可有{红球}、{白球}共2个基本事件，但这个数字上的差距，对比问题二更容易让学生意识到对等可能基本事件的设定，此时，很多学生开始纠正问题二中的错误理解）

问题4：在问题2与问题3的摸球游戏中，为确保所列基本事件是等可能的，我们应该如何看待那99个大小形状完全相同的红球？（学生开始意识到99个红球应该看成是99个不同的个体。笔者对学生回答加以肯定并强调，这99个球本来就是99个不同的个体）

问题5：学生在做题时，如何区分这99个大小形状相同的红球呢？（很多学生抢答：可以编号。于是，引出了古典概型中学生最容易犯错的问题：不同的个体应看成不同的元素，我们可以将每一个个体编号，这样可以确保列出的基本事件是等可能的，于是该问题中我们应列出{红球1号}、{红球2号}、{红球3号}…{红球99号}、{白球}这100个基本事件。）

以上阶梯式问题的巧妙设置，对学生理解古典概型中的等可能基本事件是十分有帮助的。学生通过教师设置的问题经历认知——获疑——再次认知——释疑的过程，层层递进，最终顺利生成概念。

总之，作为高中数学学习的基础，概念教学应该引起我们教师的足够重视。忽略概念，而过急过多的强调应用，往往学生一知半解，依样画葫芦，当问题的设问方式和角度稍有变化时，学生往往难以应对。只有对数学概念的学习有生成过程，才能使学生深刻理解概念的背景与实质，从而提升学生理解问题的深度与广度，激发与升华学生的思维，最终提升学生的数学素质。

（作者单位：①浙江省杭州市塘栖中学    310000;②浙江省杭州市塘栖中学    310000）