巧妙解决应用题，提高高中数学学习质量

☉甘肃省高台县第一中学 吕小红

高中数学是初等数学向高等数学的过渡期，对学生的数学思维能力也有一定的要求，主要通过考查学生能否结合数学各方面的知识来解决综合性的数学问题，从而来考查学生对数学知识的运用能力.应用题的分值比例较高，重在解决实际问题，涉及的数学知识点较多，并且覆盖面较广，其题型又多变，是高中数学中的重难点内容，学生在解答过程中常常会觉得难以下手.

一、高中数学应用题的题型分析

从历年的数学高考情况来看，应用题在考试中一直占据着绝对的比例分值，但是学生的平均得分普遍不高.高中数学应用题的知识点包括了数列、集合、函数方程、排列组合与立体几何等，综合应用题就是由这些知识点相互交叉形成的.高中数学应用题的常见题型大致可以分为以下几类：

1.立体几何

立体几何类的数学应用题一般为线面距离、线面关系及线面夹角的求解，这种类型的数学应用题所涉及的其他板块的数学知识较少，难度单一，题目的形式也较为固定，主要是考查数学的基本知识点与数形结合的思想.我们一般可以通过三维坐标系进行向量的运算或者采用传统的方法来进行几何证明.

2.复合式应用题

复合式的应用题通常是源于求解极值、最大利益、最省路程及最优方案等实际问题，一般与不等式、函数极值及方程组密切相关.这类题目会由于学生无法从已知信息中构建数学模型或者不熟悉相关的概念而显得比较棘手.

3.实际应用题

增长率、产量及繁殖一般都与实际应用题密切相关，其涉及的数学知识多为数列与排列组合，当涉及与次数和时间相关的大题就会比较抽象紊乱，这也是学生容易出错的地方，从而导致其在考试中的得分普遍偏低.当其他学科也出现在实际应用题中时，例如计算山高和净空高度测量等，这就要求学生要具备相应的综合学科能力.

高中数学的应用题考查的是学生对数学知识的掌握程度与运用情况，学生要做的就是从整体上进行理解并把握，不能局限于碎片化的数学知识的学习，然后进行大量的习题练习，这样才能在考试中顺利解答各种题型的应用题.

二、高中数学应用题解题困难的原因

数学应用题是让学生利用现有的数学知识和数学思想去分析并解决数学问题，综合考查学生的应用能力与数学知识水平.学生在解答数学应用题时经常感觉吃力主要是由以下几个方面的原因引起的：第一，在解题时存在对教师的依赖心理，教什么解题方法就用什么解题方法，也不去钻研挑战，因此无法形成有效的应用题解题思维；第二，在遇到文字叙述较长的应用题时缺乏耐心，解题心态急躁，在对题意了解的不够清楚的情况下就开始解题，因而导致错误率上升；第三，受教师长期惯性教学程序化的影响，形成了较为固定的解题习惯与思维模式，对应用题型的变化适应能力不足，因此造成解题困难.

三、高中数学应用题的学习方式

1.提高对数学应用题的审题能力

审题能力对学生解答应用题来说至关重要，直接关系到能否正确解答出问题的答案.大多数同学因为没有正确地理解题意，从而造成失分.因此学生首先应该正确理解题目所表达的意思，增强审题能力，从整体上了解题目所包含的知识点，为解题工作打下基础.条件和结论是审题中对于题目内容的两个理解点，这就要求学生合理地运用自己所学的数学知识，把未知转化为已知，利用发散性思维来获取更多的信息.

2.重视数学应用题的典型例题

模仿是提高解题技巧的主要方式.学生可以把课本中的典型例题从考查的知识点到解题方式都完全掌握并学会运用.例题在我们学习数学的过程中通常都把课本中所强调的知识点很好地表达出来且对我们的学习起着引导的作用，解题技巧、解题思路与解题计算等都可以通过典型例题来进行更好的学习与掌握，因此掌握例题在我们学习数学的过程中是十分重要的.

3.主动学习

学生在学习数学的过程中应当占据着主体地位，而教师只是起着引导的作用，因此学生应当积极发挥自主学习的能力，可以通过探究数学应用题的典型例题或与同学交流解题技巧来培养自己的自主学习能力.

四、高中数学应用题解题方法

1.把握题目的关键信息，找到解题的突破口

正确理解题意是我们解答数学应用题的关键所在.学生如果无法做到正确理解应用题的题意，那么在解题的过程中往往就会无从下手甚至南辕北辙.大多数学生存在这样一种情况，觉得应用题的题目太难，看不懂，但是教师稍微一点拨就觉得题目其实并不难，这是由于其审题能力太差造成的.大多数学生所认为的审题都只是对题目所要表达的意思有一定的理解，然后对问题进行分析.然而事实上，正确的审题方式是在把握住题目问题本质的基础上再去探究解题的思路.所以，教师在数学教学的过程中要对学生无法正确审题的原因对症下药，从而培养学生解答数学应用题的能力.

我们以下面的题目为例来说明该如何正确审题：一个梯形两底边的长度分别为12cm与22cm，梯形的一条腰被平均分成10份，然后画10条直线平行于梯形的底边，且过10个等分点，求夹在梯形两腰之间的10条线段的总长度.

这是一个典型的审题型应用题，大多数学生能够很快地读懂题意但却不容易挖掘到题目中潜藏的信息.实际上，这10条夹在梯形两腰之间的线段是一个等差数列，如果能挖掘到这个潜藏的知识点，解答这个题目就会变得轻而易举.因此，教师在数学教学活动中，还要注意引导学生通过已知的信息去探究潜藏的信息，然后进行题目的转化，运用发散性的思维来解决数学问题.

2.联系生活实际，掌握解题思路与技巧

与实际生活逐渐接轨是近几年高考数学应用题的趋势之一，有些学生因为无法从生活中找到相应的数学模型，因而面对这种题型时常常会觉得不知所措.针对这种情况教师可以引导学生不要把对于数学的学习仅停留在课本上，要学会与生活中的实际相联系，学会转化思维方式.例如，可以把具体问题转化为数字问题，把几何问题转化为代数问题等，从而使题目变得简单易解.

我们以下面的题目为例来说明联系实际来解决数学问题：如图1所示，ABCD是一个矩形的花园，现在要扩建一个更大的矩形花坛AMPN，要求D在AN上，B在AM上，且对角线MN要过C点，已知AD=2米，AB=3米，如果矩形AMPN的面积要大于32平方米，那么AN的长应该在什么范围内？

图1

这个应用题很明显把实际问题与数学问题结合在一起.这种题目在很多试卷中都很常见，因此学生应当在生活中多关注数学问题，培养自己的数学思想.大多数教师在应用题的教学过程中忽略了题目的应用性，只考虑到了解题方法和步骤而就题论题，这就使得应用题失去了原本的趣味性.教师应当把生活作为一种数学教学的背景，充分体现数学来源于生活且应用于生活的特点，从而教会学生去联系生活中的实际来解决数学应用题.

3.学会编题，提高综合解题能力

高中生的学习任务繁重，细致地去做每道题的话会浪费不少时间和精力.学生在做题时也会由于存在畏难的心理而去选择自己会做的题目来做，有难度的就放在一边不想去理会，长此以往，即使有大量的习题练习，数学解题水平还是无法提高.在这种情况下，教师可以鼓励学生去自主编题，为了让学生有一套适合自己的复习资料，可以让学生把自己不会做的题目和做错的题目记在数学笔记本里.这种自主编写错题难题的学习应用题的方式在一定程度上可以有效地提高学生的综合解题能力.在学生编写应用题的过程中，教师可以引导学生根据自己的实际情况来编写，还可以让同学之间互相交换各自编写的习题，一方面，可以帮助学生提高题库含量，另一方面，可以让别的学生审查题目的编写是否严密.

我们以下面的题目为例来说明应用题目的编写：如图2所示，抛物线拱桥的顶部距离水面为2米时，水面宽4米，当水面下降1米时，问水面宽多少？

很明显这个题目在于考查

学生对抛物线的性质的掌握水平，学生可以以这个题目为基础进行改编，并通过编题来提升自己的思维方式.教师在这一过程中也应当给予学生适当的鼓励，从而来激发学生学习数学的积极性.由于应用题本身就是一种与实际相互联系的题型，所以学生在编题的时候能够发现很多平时做题没有发现的问题，并且可以在很大程度上提高解题的规范性，并最终促进解题思维的成熟化.

综上所述，在高中数学的学习中，数学应用题占有重要的地位，研究数学应用题的解题方法，不仅可以提高学生的数学成绩，使学生加深对数学应用题的分析与理解，还能提高学生的数学思维与综合能力，进而促进学生高中学习的全面发展.

图2