圆锥曲线解题四策略

☉江苏省宜兴市官林中学 蒋 敏

☉江苏省宜兴市官林中学 吴燕江

圆锥曲线是高中数学的一个重点内容，同时也是每年高考的一个热点问题.我们在圆锥曲线的解题过程中，应尽量做到定义、方程、图形、性质的有机联系和对比，在联系和对比中掌握重点，突破难点.下文举例说明.

一、围绕定义作文章

打开课本，我们发现教材都是从日常生活及实际应用出发，结合图形给出了椭圆、双曲线、抛物线的第一定义；同时又用动点与定点的距离和它到定直线的距离的比为常数根据e与1的大小关系给出了圆锥曲线的统一定义.因此解题过程中应紧扣定义，利用好第一定义和统一定义，许多疑难问题则可迎刃而解！

点评：此题是双曲线中有关焦点三角形的问题，解题时应充分利用双曲线的定义及三角形的特征.除上述解法外，还可以先设出双曲线的方程，再利用条件=2求出点M的坐标，然后通过将点M的坐标代入双曲线方程，从而求出a2.

二、巧思妙想求方程

平面解析几何研究的一个主要问题是：根据已知条件，求出表示平面曲线的方程.高考中经常考查轨迹方程这一知识点，这就要求同学们在平时的训练中，不仅要熟练掌握定义法、直译法、相关点法、待定系数法等常用方法，更应积极思考，巧妙利用平面向量，注意解题思维的优化创新.

例2 已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在坐标轴上，直线y=x+1与该椭圆相交于P，Q两点，且OP⊥OQ，|PQ|=求椭圆的方程.

点评：本题中若直接利用根与系数的关系将x1+x2和x1x2代入弦长公式，则可预见运算量较大，不代先算，既体现思维的整体性，又体现运算的合理性、策略性、简捷性.本题也可先利用根与系数的关系将x1+x2和x1x2代入（*），化简得m+n=2，再分别化简根与系数的关系和弦长公式，这样的运算顺序也可达到简捷的目的.

三、优化思维导性质

平面解析几何研究的另一个主要问题是：通过方程，研究平面曲线的性质.每年高考中涉及焦点、离心率、准线、渐近线等性质的选择、填空题还真不少！这就要求同学们在掌握基本几何性质的基础上，更应该发散思维、优化思维，既要保证正确率，又要节省时间.

例3若双曲线（a>0，b>0）的两条渐近线互相垂直，则其离心率e=（ ）.

解析：因为等轴双曲线的离心率且两条渐近线y=±x互相垂直，反之亦成立.所以选C.

四、数形结合探思路

大家知道，解析几何是运用代数方法来探究几何问题，在探究几何图形时，往往运用了坐标法，但由于几何研究的对象是图形，而图形的直观呈现性会帮助我们发现问题，启发我们探寻解题的思路，找到解决问题的有效方法，所以，在解决解析几何问题时，要注意观察、分析图形的特征，将形与数结合起来.

图1

例4已知椭圆C的方程为的两条渐近线方程为l1，l2，过椭圆C的右焦点F作直线l，使l与l2交于点P，设l与椭圆C的两交点从上至下依次为A，B（如图1），求的最大值，以及取得最大值时椭圆C的离心率e的值.

解析：这道题的几何条件关系虽然已经很明确了，但相对而言还是比较繁杂，如直接运用两点间的距离公式来构建比值求最大值，不难发现，非常烦琐.应先将目标比值通过化归思想等价转换为与点F相关的比值，再运用“降维”的理念，把条件转化为求y轴上的坐标关系.而这些都建立在数形结合的基础上.

点评：解析几何是用代数的方法来研究并解决几何问题，自然离不开计算，更离不开图形.故应充分利用图形，将其转化为代数关系.

当然，圆锥曲线的解题策略远不止以上提及的四点，但无论采用何种策略，将图形关系转化为代数关系，并进行合理的计算，是永远不变的“策略”.