基于问题式学习的《数值分析》微课设计

摘要：针对我国高校《数值分析》课程特点及教学现状，将基于问题式学习模式应用于《数值分析》课程教学有助于提高学生学习兴趣和教学质量。本文针对基于问题式学习的《数值分析》微课设计方案进行了初步探讨。

关键词：基于问题式学习；数值分析；微课

中图分类号：G642.0 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2016）46-0176-02

一、《数值分析》课程特点及教学现状[1]

《数值分析》课程是大、中专院校理、工、农、医等学科重要的专业基础课程，主要研究运用计算机解决实际问题的方法。主要包含的章节有：绪论、插值法、数值逼近、数值积分与数值微分、非线性方程求根、线性方程组的直接解法、线性方程组的迭代解法、矩阵特征值的计算、常微分方程初值问题数值解法。学好本门课程即要求学生有较好的数学基础，能够构造数值方法，并对它进行理论分析和评价，又要求学生能够熟练运用计算机编写程序、数值计算，最终得到近似解。通过本课程的学习，要求学生独立思考、综合分析、动手能力和解决问题的能力得到提高。

应用性强是该课程的主要特点。课程每个章节的内容分别是针对不同的具体问题设计的，有很强的应用背景。例如：已知物体运动的速度和加速度函数，如何得到路程函数；或已知物体运动轨迹，如何得到某点处的切线方程；如何求解一元高次方程的解；如何得到含有多个未知数线性方程组的近似解等。针对同一类数学问题，课程要求掌握多种数值求解方法，方法应用上有较强的灵活性。理论分析与动手能力并重是本门课程的另一特点。针对一个具体问题，求解的基本步骤是：首先针对具体的数学问题设计相应的数值方法，理论分析该方法的精度、稳定性、收敛性等；其次，设计出该方法对应的计算机算法，编写、调试程序；最后，将得到的数据进行分析，结合理论分析结果，对该方法做出正确评价。

理论知识与具体问题脱节是目前《数值分析》课程教学中存在的主要问题。大部分学校《数值分析》教学仍以传统教师讲授为主，多在普通的没有多媒体设备的教室进行。对新方法、新理论很少通过直观的方法进行引入，如图片、视频等；教学过程中更多地注重计算公式的推导，精度分析，收敛性、稳定性的证明，忽视了对应用背景的合理引入，以及对具体问题的求解过程及数值实验结果的正确分析。

课程结束后的预期效果是：要求学生在处理具体问题时，首先根据给定的条件对问题进行分析，找到最适合的数值方法，对数值方法进行恰当的理论分析与证明，然后开展数值实验，对数值实验数据进行正确分析，最终得出结果。而目前传统教学方法却达不到预期效果。课程结束后，针对个人不同学习情况，许多学生只是片面地掌握了部分数值方法和技术，如有的学生偏重理论证明，有的学会应用公式计算，有的掌握了一些编程技术等，很少学生能够完成一个具体问题的完整求解过程，达不到提高学生独立思考、综合分析、解决具体问题的能力的教学目的。

二、基于问题式学习[2]

基于问题式学习主要是通过引导学生合作解决教师设计的实际问题，在解决问题的过程中学习问题背后的科学知识，达到培养学生自主学习、团体合作以及解决问题能力的目的。基于问题式学习强调以解决具体问题为中心，注重学生团体间的交流与合作，教师在其中的作用是对学生进行引导和外部支持。

通过上文对《数值分析》课程特点的分析，该课程每个章节对应一类具体问题，每一类问题中根据不同的条件又有不同方法求解，且解决一个具体问题时需要进行初始数据调研、理论分析、数值实验、数据分析这四个基本步骤，适合团体协作完成。

比对《数值分析》课程及基于问题式学习模式的特点，我们发现，基于问题式学习模式非常适合使用在《数值分析》课程的教学中。鉴于此，本文以第二章插值法为例，对将问题式学习模式应用于《数值分析》课程教学进行了初步探索。[3-4]

三、基于问题式学习的《数值分析》微课方案设计

微课是教师录制成的针对某个知识点短小而相对较完整可直接播放的教学活动视频，其主要特点是“短小精悍”。在“微课”设计、制作过程中，教师要紧紧围绕学科的某个知识点，比如：重点、难点等，依照教学目标，利用多媒体及其他直观教学工具，精心设计课程、制作视频，从而达到与传统长时间教学同样甚至更好的教学效果。作为一种新型的教学资源，微课是传统课堂的有益补充和资源拓展，便于学习者随时随地地进行线上或线下学习。将微课与传统教学相结合的新型教学模式有利于提高教学质量。

下面就以《数值分析》课程第二章插值法为例，初步探讨基于问题式学习的微课设计方案。

插值法研究的是这样一类问题，通过观测、测量得到曲线上的一些离散点坐标，通过插值法得到曲线方程的近似函数和未知点近似坐标值。插值法的应用在日常生活中较常见，如空投救援物资时，根据物资运动轨迹，预测物资落地点；计算不规则形状湖泊面积；通过观测得到的流星出现位置，判断流星与其他物体相撞的可能性。[5-6]

基于问题式学习的微课设计方案：

1.分组。首先教师向学生解释完成任务的四个基本步骤：初始数据调研、理论分析、数值实验、数据分析。以30个学生的教学班为例，每5人分为一组，共6组，要求学生根据任务步骤及学生的特点进行自由组合，在教师协助下完成分组。

2.布置与分配任务。由教师设计6个具体任务，任务设置难易适当，各个任务要求各有特点，解决这些问题应尽量用到课程所介绍的各种不同方法。并由各小组抽签分配任务。

插值法任务：（1）已知铅球运动轨迹图，预测铅球落地点；（2）已知足球射门视频片段，预测是否命中；（3）空投救援物资时，根据物资运动轨迹图，预测物资落地点；（4）已知形状不规则湖泊图片，计算湖泊边界曲线方程；（5）已知沙漠绿州图片，计算绿州边界曲线方程；（6）根据流星出现位置图片，判断流星与地球相撞的可能性。

3.制定、公布任务评价细则。在完成要求的四个基本步骤后，根据完成情况分成以下四个等级：不能完成、基本完成（一次性输入3个固定点作插值）、较好完成（一次性输入3个以上固定点作插值）、优秀（可自由选择和增加插值点个数）。

4.教师制作微课视频，供学生自由在线或下载学习，视频时长不超过二十分钟。每节微课介绍一种插值方法，分别为：插值法基本原理、拉格朗日插值、牛顿插值、埃尔米特插值、分段低次插值。

5.活动汇报及答辩：学生利用PPT汇报小组解决具体问题过程及结论展示，并针对教师、其他组学生的提问进行答辩。

6.总结评价与查漏补缺：由教师完成总结与评价，并对学生掌握不好的问题，章节中没有用到的方法和内容进行讲解和分析。

在以上六个任务中，首先要求学生将任务图片或视频定位在直角坐标系下，测量出若干离散点坐标，在测量的过程中，可采用等距测量的方法，也可采用不等距的方法，不同的测量方法所使用的插值法不同；第二步，要求学生学习微课内容，选择最适合的插值方法，如已知等距节点坐标可选择牛顿插值法；已知不等距节点坐标可选择拉格朗日插值法；已知不等距节点坐标值及节点处的一阶导数值（节点切线斜率）可选择埃尔米特插值法；节点个数固定可选择牛顿插值、分段低次插值、拉格朗日插值、埃尔米特插值法；能够随时增加节点可选择牛顿插值法；节点个数超过8个选择分段低次插值法。其中，各种插值方法的特点及构造原理、使用方法等均可在微课中学习到，学生选择的方法越灵活，精度越好，则得到的分值越高。第三步，编写、调试程序。要求程序首先能完成所要求的基本任务，其次程序要与用户有较好的交互性、可读性；第四步，分析实验数据，并与理论分析结果进行比较。通过理论分析，得到该插值方法的估计误差；将数值实验结果与实际问题结果比较，得到实验误差，将实验误差与理论估计误差进行比较，从而验证理论分析结果。

基于问题式学习的《数值分析》微课设计方案，通过组织学生合作解决教师设计的实际问题，在解决问题的过程中利用教师录制的微课进行灵活、自主学习，从而达到培养学生自主学习、团体合作、动力能力以及解决实际问题等综合能力的目的。

参考文献：

[1]王燕.基于学生创新能力培养的数值课程教学改革和实践[J].科教文汇：下旬刊，2011，（6）.

[2]张建伟.基于问题式学习[J].教学研究与实验，2000，（3）：55-60.

[3]胡铁生.“微课”：区域教育信息资源发展的新趋势[J].电化教育研究，2000，（3）：55-60.

[4]吴晓茜.利用微课促进信息技术教学的有效途径[J].现象透视，2013，（7）：37-40.

[5]黄兵.《数值分析》课程教学改革的几点思考[J].重庆教育学院学报，2005，18（6）：13.

[6]梁乐明，曹俏俏，张宝辉.微课程设计模式研究——基于国内外微课程的对比分析[J].开放教育研究，2013，（2）.