从现实到历史 构建数学章节序言课—以《排列组合序言课》为例

上海市上海南汇中学(201399)顾彦琼

一、引言

我们知道“好的开始是成功的一半”，上好数学章节序言课无疑也有这样的作用，因此教师应当下功夫设计具有科学性、艺术性的章节序言课，帮助学生提高数学学习的积极性，培养学生学习数学的兴趣，拓宽数学学习的视野.同时，通过章起始课的研究，帮学生建构一章的知识框架，开启新的求知之旅，并让学生在这个过程中逐渐学会学习，是值得我们长期研究的问题.

关于高中数学章节序言课的观点还有很多，主流观点总结如下：章节序言课作为一章的序言，应能使学生对全章学习内容总体上有一个大致的了解，以帮助学生高屋建瓴地认识学习内容，形成良好的认知结构.[1]一节有效的章节序言课应明确以下要素：(1)章节序言课的起点：唤醒学生的意义有认知，以学生的已有认知作为新知的重要生长点.(2)章节序言课的内容：研究内容、研究方法的融合.(3)章序言课的目标：知识结构和认知结构的完善和优化.[2]

因此序言课要注重以下几个方面：(1)学习的原因; (2)学习内容;(3)学习的方法.笔者尝试在序言课中用更贴近学生现实生活的情境引出问题，让学生领会到学习的原因;通过典型基础的例子，让学生了解章节所要学习的内容;同时，通过讲解问题让学生初步认识到章节学习的方法.最后通过数学史，提高学生学习该章节内容的兴趣.以《排列组合序言课》为例，笔者对“从现实到历史，构建数学序言课”的模式进行实践.

二、教学案例分析

(一)教材分析

计数问题是数学中重要的研究对象之一，本章基于分类的加法计数原理和基于分步的乘法计数原理是解决计数问题的最基本、最重要的方法，也称为基本计数原理，它们为解决许多实际问题提供了思想和方法.在本教材中，计数问题为导出二项式定理和解决概率论中古典概型问题提供了有力的工具.

而计数问题在试验设计、破译密码、穷举法应用、甚至量子物理等许多领域都有广泛的应用， 解决计数问题需要灵活、周密、全面的思考和设计，对学生养成严谨、灵活的思维习惯，提高解决问题能力有较高的教育意义，教材中的二项式定理是我国北宋数学家贾宪和南宋数学家杨辉在解决开方和数列计算中提出的问题，并获得了著名的贾宪—杨辉三角形，利用这一史料进行爱国主义教育.

(二)学情分析

高二学生已具备一定的数学知识和方法，如果遇到与计数有关问题，基本采用枚举法，即一个一个地数;在初中概率学中已经学过树型图，也可解决这种问题.但当这个数很大时， 枚举法就很难实施， 这些就形成了学生思维的“最近发展区”，教师在教学设计中进行启发教学，学生就容易通过归纳、类比形成新的知识体系.

物理班学生思维较为活泼，但是缺乏严谨，对于分类分步问题上的分析应用会存在欠缺，故本节课教学难点设定为：应用乘法原理、加法原理和排列组合解决简单的问题.在教学设计上对概念加以强调区分，使得学生能尽快理解本单元的研究方法和研究方向，顺利进入新知识领域的学习.

(三)教学目标

1、掌握乘法原理和加法原理，并能用它们分析和解决一些简单的应用问题.理解乘法原理和加法原理的本质区别在于分步和分类，分步时，正确设计分步程序;分类时，不遗漏不重复.

2、掌握排列和组合的概念联系，并能用它们解决一些简单的问题.理解排列和组合的本质区别在于有序和无序.初步领会建立数学模型的思想.

3、认识排列组合章节的知识结构和教学目标，了解本章内容的相关背景、应用的价值，初步认识全章的知识脉络体系及其与其他知识的联系，明确本章内容学习的特点及能力要求，激发学生学习本章的兴趣.

(四)重点与难点

教学重点：初步了解排列组合的主要内容和方法，主要内容包括：乘法原理和加法原理的概念及简单应用，排列和组合的概念及简单应用;主要思想方法包括：分类，转化，建模.

教学难点：应用乘法原理、加法原理和排列组合解决简单的问题.

(五)教学过程

1、联系现实，建构概念

问题1(1)某市有2 所小学，2 所初中，2 所高中，请问：该市学生从进入小学学习到高中毕业，有哪些可能?

(2)大学毕业后，某生小强有3 种选择，分别为：打工(有4 家公司可选)、创业(与同学合伙1 家)、读研(有2 所学校可选)，请问：小强毕业后有几种去向?

(3)问题(1)与问题(2)的主要区别是什么? 现实生活中是否有类似问题，请举例.请将问题(1)与问题(2)推广到一般情况.

问题2(1)周六休息，下载四部电影，计划上午看一场，下午看一场，有几种选择?

(2)周六休息，去书店买书，在四本中选取两本买，有几种选择?

(3)问题(1)与问题(2)的主要区别是什么? 请推广到一般情况.

设计意图源于真实，从学生息息相关的学习与生活出发，让其了解数学来源于生活，使得学生充分认识到数学有用，排列组合有用;从具体到抽象，从特殊到一般，理解数学概念，了解数学符号，层层递进，启发学生.

2、追根溯源，感受文化

排列组合的历史(印度)

(1)公元前6 世纪，苏斯鲁塔的医学论文中给出了六种不同的味——苦、酸、咸、涩、甜和辣中分别取1、2、3、4、5、6 种的组合方法有63 种.

(2)6 世纪，瓦哈米希拉给出了稍大一些的组合数，“如果16 个一组的物体以4 种不同方式变化，那么结果是1820”.

(3)9 世纪，马哈维拉给出了计算组合数的详细算法.

设计意图选取一个国家的组合数发展史概要，让学生意识到排列组合古已有之，且凝聚了几个世纪数学家们的奋斗，我们现在习以为常的数学定理并不是一蹴而就的，而是经过了长时间的磨练，无数人的努力，激励学生学数学不用惧怕，数学家们也会经历很多的曲折，同时也让同学们了解数学有文化!

3、例题精讲，知识延伸

例1用4 种不同颜色给如图所示的A,B,C,D 四个区域涂色，要求相邻的区域(即有公共边)涂不同颜色，问有多少种不同的涂色方法?

图1

图2

知识延伸：四色定理.

例2如图有4 条横路5 条纵路，现从A(西北角)沿路按最短途径到B(东南角)，共有多少种不同的走法?

知识延伸：杨辉三角形，二项式定理.

设计意图从两个简单的例题出发，例1 的简单涂色的分类分步到经典的四色原理问题，从例2 的逆向思维训练及数学建模意识到著名的杨辉三角形，从教材知识到课外延伸，开拓学生视野，丰富学生知识.

练习1540 的不同正约数共有多少个?

练习2若x+y+z = 100,x,y,z ∈Z+，则满足条件x,y,z 的共有几组?

4、对话先哲，启迪智慧

(1)二项定理，源远流长

贾宪三角(采自杨辉《详解九章算法》)

图3

图4

1654年， 法国数学家帕斯卡三角形(B.Pascal，1623∼1662)

(2)名题赏析，大家风采

错装信封问题

问题1、法国数学家蒙莫尔在1713年最先提出：“把n张信纸与n 个已写好相应地址的信封任意打乱.问：至少有一封信装对的情况有多少种? ”

问题2、瑞士数学家伯努利(N.Bernoulli，1687-1759)提出了等价命题：把n 张信纸与n 个已写好相应地址的信封任意打乱.问：“所有信纸全都装错了信封的情况有多少种? ”

问题3、数学大师欧拉对这一问题情有独钟，称之为组合论中的妙题，而且他也为问题的解作出非常巧妙的解释.

问题4、为解问题建立了三种数学模型：

行列式，有限集元素计数函数，图论.

5、课堂小结，作业布置

课堂小结：由师生共同总结本节课主要内容

(1)两个计数原理：加法原理，乘法原理

(2)排列、组合的概念

(3)区分加法原理与乘法原理的适用情况

(4)区分排列与组合适用情况

(5)了解排列组合的相关数学史

作业布置：(略)

三、结语

历经3年多时间，于2016年9月13日召开了中国学生发展核心素养研究成果新闻发布会，全面公布了包括三大领域六种素养十八个要点的中国学生发展核心素养，三大领域分别为文化基础、自主发展、社会参与，六种素养分别为人文底蕴、科学精神、学会学习、健康生活、责任担当及实践创新.[3]而在章序言课设计中，从现实中抽象情境，培养学生发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的能力，提高学生做数学、用数学的兴趣和意识，从而提高学生的核心素养.章起始课教学要在系统思维与整体观念的引领下对整章内容做一个全面的“预览”，使得学生在之后学习具体内容前先对整章内容有一个整体认识，避免碎片化学习，避免出现“只见树木，不见森林”.

在序言课的实践中，借助现实情境让学生体会到数学有用有趣，借鉴数学史让学生认识到数学的深刻有益，同时序言课有助于为学生今后的学习构建知识框架，为学生学习新知识和技能做好必要的知识准备和心理铺垫.