好风凭借力 送我上青云—浅谈初中数学核心素养之直观想象

广东省中山市南头镇初级中学(528427)梁文昌

经过多年教育改革，我国的素质教育成效显著，但是，这一轮“看上去很美”的课程改革，与“立德树人”的要求还存在一定差距，时代的发展对我们的教育提出了新的要求.2016年2月，中国教育学会《学生发展核心素养(征求意见稿)》出炉，核心素养迅速成为教育界的焦点话题.教育部郑富芝司长撰文指出：核心素养是学生应具备的适应终身发展和社会发展需要的必备品格和关键能力，突出强调个人修养、社会关爱、家国情怀，更加注重自主发展、合作参与、创新实践.

就数学学科而言，研究指出，数学核心素养包含数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象、数据分析等六个方面.在本文中， 笔者将以一线教师的视角， 整理自己对“直观想象”这一数学核心素养的学习和思考， 以期抛砖引玉.

直观想象是指借助空间想象感知事物的形态与变化，利用几何图形理解和解决数学问题的过程.结合初中数学课程，笔者认为可以从以下三方面着手培养学生的直观想象.

1 利用图形描述和分析数学问题

希尔伯特在《直观基础》一书中阐述了几个基本观点：1、图形可以帮助刻画和描述问题，一旦用图形把一个问题描述清楚，就有可能使这个问题变得直观、简单;2、图形可以帮助发现、寻找解决问题的思路.3、图形可以帮助表述一些结果，可以帮助记忆一些结果.所以在我们平时的教学中可以利用图形描述和分析问题，借助图形的直观，可以把复杂的数学问题，变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果.图形可以帮助学生直观的理解数学，看图想事，看图说理，这就是我们平时所说的图形的直观性.

图1

例如：在学习完全平方公式(a+b)2= a2+2ab+b2的课堂教学上，其实我们可以从几何角度去解释完全平方公式．如图1， 可以看出大正方形的边长是a+b．那么它的面积可以表示为(a+b)2，还可以看出大正方形是由两个小正方形和两个矩形组成，所以大正方形的面积等于这四个图形的面积之和．阴影部分的正方形边长是a，所以它的面积是a2;另一个小正方形的边长是b，所以它的面积是b2;另外两个矩形的长都是a，宽都是b，所以每个矩形的面积都是ab．于是就可以得出：(a+b)2= a2+2ab+b2．这正好符合完全平方公式．通过图形的学习，学生就不会简单的把完全平方公式写成(a+b)2=a2+b2了.

又如：在学习判定直线与圆的位置关系时，当直线与圆相离、相切、相交时，圆心到直线的距离d 与半径r 有何关系?

直线AB 与圆O 相离⇔d ＞r; 直线AB 与圆O 相切⇔d=r;直线AB 与圆O 相交⇔d ＜r.

图2

在相交和相离两种情况下d 与r 的关系，学生可能比较糊涂，很容易会混淆，但如果我们在教学中利用图形描述和分析问题，进行直观地比较，那么学生就不会记错了.

培养学生利用图形描述和分析数学问题的能力，不是一朝一夕的事，在教学中，应根据学生的认识规律，采用多种教学手段引导学生运用多种方式积极主动地参与到教学中来，使具体事物的形象在头脑中得到全面的反映，以促使学生对几何形体有深刻的认识，这样才能更有效地培养学生分析数学问题的能力.

2 建立形与数的联系

我国著名数学家华罗庚说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”.数与形是数学中的两个最基本的研究对象，它们在一定条件下是可以相互转化的.中学数学研究的对象可分为数和形两大部分，数与形是有一定联系的，这个联系称之为数形结合.作为一种数学思想方法，数形结合的应用大致可分为两种情况：第一种情形是“以形解数”，就是借助形的几何直观性来阐明数之间某种关系;而第二种情形是“以数助形”，就是借助于数的精确性来阐明形的某些属性.数形结合是通过“数”与“形”的相互转化，使复杂问题简单化、抽象问题具体化.

例1如图3， 已知B(-1,2)是一次函数y = kx+b 与反比例函数图象的两个交点，AC⊥x 轴于点C，BD⊥y轴于点D.

图3

(1)求一次函数解析式及m 的值;

(2)根据图象直接回答：在第二象限内， 当x 取何值时，一次函数的值大于反比例函数的值.

这是一道典型的一次函数和反比例函数的综合计算题，在第(2)个问题中很多学生都会觉得比较难解决.但是，如果我们利用好函数图象的特点， 把两个函数的交点为界线， 把平面分割成三个部分， 那么学生就能直观的看到：当-4 ＜x ＜-1 时，一次函数图象都在反比例函数图象上方，此时一次函数的值就会大于反比例函数的值.

例2人教版八年级下书本第102 页第19 章第3 节课题学习选择方案问题1 怎样选取上网收费方式?

下表给出A，B，C 三种上宽带网的收费方式：

收费方式月使用费/元包时上网时间/h 超时费/(元/min)A 30 25 0.05 B 50 50 0.05 C 120不限时

选取哪种方式能节省上网费?

一般学生会根据前面一次函数的内容列出三种收费方式的函数解析式：

图4

选取哪种方式能节省上网费? 这个问题还是有点复杂，难点在于前两个函数都是分段函数，需要分类讨论，而怎样分类比较是难点，怎么办? 如果我们换个角度，利用数形结合去分析问题，画出函数的图象如图4，明白函数交点的意义，那比较哪种上网方式比较省钱就一目了然了.

在解决某些数学问题时，特别是函数问题时，可以让学生体验数与形的内在联系.只要我们把握好每一次机会，在教学过程中渗透“数形结合”的思想方法，那么学生的解题能力就会达到一个新的高度.

3 构建数学问题的直观模型

新课标指出：“通过操作、观察、体验， 引导学生进行比较、分析、综合，在感性材料的基础上加以抽象概括，培养学生有条理、有根据的思考、解决问题.”因此，运用直观手段更能有效地帮助学生构建数学模型.建立数学模型是学生分析数学问题、解决数学问题的关键，如何构建数学模型是每个数学教师在教学中必须研究的问题，可以说建立数学模型的方式多样，能锻炼学生的抽象思维能力，直观地看到问题的本质.

例3人教版新课程学习辅导第73 页第9 题，一条笔直的公路上依次有A、B、C 三地，甲、乙两车同时从B 地出发，匀速驶往C 地．乙车直接驶往C 地，甲车先到A 地取一物件后立即调转方向追赶乙车(甲车取物件的时间忽略不计)．已知两车间距离y(km)与甲车行驶时间x(h)的关系图象如图5 所示．

(1)求两车的速度分别是多少?

(2)填空：A、C 两地的距离是____，图中的t=____.

(3)在图6 中，画出两车离B 地距离y (km)与各自行驶时间x(h)的关系图象，并求两车与B 地距离相等时行驶的时间．

图5

图6

点评此题考查了函数的图象及一次函数的应用，难度较大，学生不容易理解，解答本题的关键是根据图象的三条线段得出每个拐点的实际意义．

我们只需让学生理解每一个拐点的实际意义，让学生画出相应时刻的线段图，就会迎刃而解.① 当t = 1 小时线段，如图7

图7

由上图可知前1 小时甲、乙两车是从B 出发反向而行，第一拐点应为甲刚好到达A 地，此时两车距离最远，150 千米应为两车路程之和.可得方程：

② 当t=3.5 小时线段，如图81 小时以后甲、乙两车是同向而行，是追逐问题，经过2.5 小时的追赶，两车距离缩短75 千米，而第二拐点应为乙刚好到达C 地，而甲还没有到达.可得方程：结合① ② 可得：V甲= 90km/h，V乙= 60km/h;3.5 小时以后就只有甲车在路上行走了.

图8

构建数学问题直观模型， 让学生知道每个拐点的意义，那么解决后面的问题就简单多了.

数学核心素养作为一个新的课题，要研究的东西实在太多， 本文仅是笔者对直观想象的一些不成熟的思考和探讨.鲍建生教授说：“数学素养是在掌握数学知识的基础上在数学活动中逐步养成的.”培养学生的核心素养，关键还是要在我们教学的每个环节中渗透.古语有云：“好风凭借力，送我上青云.”我们在教学中应该抓住数学本质，开展多样的数学活动，借直观想象这一“好风”，让我们的学生走近数学、亲近数学、受到良好的数学教育，最终直上青云，形成良好的数学素养!