数学解题教学之“取势、明道、优术”——以函数问题解决中的“元”思想和“元”方法为例

(三门中学,浙江 三门 317100)

1 问题提出

函数是贯穿高中课程的主线.函数问题是高中数学概念、原理、方法和思想的综合体现，是提高数学思维品质的好问题.无论是初中还是高中的函数概念，无论是“变量说”还是“集合对应说”，无论是单元函数还是多元函数，其核心都是“元”之间的依赖关系以及一个(或一些)“元”的变化对另一个“元”的影响.

章建跃博士在文献[1]中提到,数学教育之“取势”、“明道”“优术”，具体解释为：“明确方向，把握规律，办事有方”.在数学中，“取势”就是明确教学目标，甄选教学主题；“明道”就是分析问题特征，发现解题思路；“优术”就是优化解题方法，形成思维体系.

在平时的函数问题解题教学中应渗透对“元”的认知，确立问题的“势”，掌握基本函数的图像和性质的“道”，运用“换元法、分类讨论、参变分离(半分离)、特殊元定界”等“技术”的解题思维，努力追求问题的本质，这需要一线数学教师不断地学习和反思.下面就几个具体的例子与各位同仁一起探讨.

2 实例展示

2.1 “元”思想取势，函数结构明道，换元、分类方法优术

二元(多元)问题常见的处理模式为不等式、线性规划等.如果将其中一个作为主元，另一个(几个)作为参数，则问题转化为含参的一元函数.

例1已知0≤x≤y≤1，则(2x-y)(1-2x)的最大值为______.

思路1(通过与二元不等式、线性规划建立联系)如果用平等的眼光看x和y，那么本题的“势”就是一个约束条件下的“二元问题”，解决“二元问题”的“道”是线性规划和基本不等式.但本题如果直接用基本不等式，那么等号不能取得无法求出最值；如果直接运用线性规划，那么要求的结果没有直接的几何意义，因此需要运用“换元法”的“技术”来明确规划目标.

图1

从而目标函数为Z=uv，约束条件为

可行域为△ABC的内部(包括边界，如图1).

思路2(用主元策略和函数观点看问题)如果区别对待x和y，一个看成变量、另一个看成参数，那么本题的“势”就是函数观点下的最值问题，解决函数最值的“道”是函数的类型和性质.以x为“主元”的道是二次函数，以y为“主元”的道是一次函数.由于含有参数，自然用“分类讨论”的“技术”来分析单调性.

令f(y)=(2x-y)(1-2x)，即f(y)=(2x-1)y+2x(1-2x),其中y∈[x,1].

f(y)max=f(x)=-2x2+x=

f(y)max=f(1)=-(2x-1)2<0，

2.2 “元”结构取势、函数结构明道，特殊元优术

对于含参数的函数问题，通过变形转变函数结构，使之成为若干个基本初等函数之间的相互制约关系，往往能更好地把握这些函数由一种状态向另一种状态变化时的临界状态.

例2当x>0时，(asinx-1)(ax2-x+4a)<0恒成立，则a的取值范围是______.

图2

思路2(通过数、式相乘的符号结果的认知)不等式的左边是两个因式相乘，那么顺“势”而为，确定解决这个问题的“道”是分析两个含参函数的图像特征、性质和符号变化.令f(x)=asinx-1，g(x)=ax2-x+4a,重点分析参数a对正弦函数、二次函数的图像和函数值符号的影响，以0为界：若a<0，当x→+∞时，g(x)<0，那么就要求f(x)>0，不符；若a=0，不符；若a>0，当x→+∞时，g(x)>0，那么就要求f(x)<0，由三角函数的周期性可知f(x)max<0，因此a<1且g(x)>0恒成立，即

得

从上述过程我们看到本题的“x>0”与“x∈R”的要求是一样的.

本题的两种解法都是通过认真审题认清主元所在函数结构的“势”顺势而为、运用参变分离、符号认知的技术结合所掌握的基本初等函数的图像、性质分析问题、解决问题，即以道统术、以术助道.

2.3 “元”方程取势，实根问题明道，数形结合与参变分离优术

函数、方程、不等式之间有着内在的必然联系，将这3个视角自由切换可以更清楚问题的本质.

例3已知关于x的方程x2+2bx+c=0(其中b,c∈R)在区间[-1,1]上有实根，0≤4b+c≤3，则b的取值范围是______.

图3

思路1(结合一元二次方程的实根分布知识)以x为“主元”，取二次方程实根分布和线性规划的“道”，运用数形结合的“术”.

令f(x)=x2+2bx+c，如图3,只需

综上列出关于b,c的不等式组，然后用规划的“道”解决，这里从略.

图4

思路3(联系解析几何“设而不求”策略、结合韦达定理)取二次方程在区间[-1,1]上有实根的“势”，运用设参变换主元的“术”，考虑函数类型和求值域的“道”，看是否可行.

设x2+bx+c=(x-x1)(x-x2)(其中x1∈[-1,1],x2∈R),则

从而4b+c=x1x2-2(x1+x2)=(x1-2)(x2-2)-4,

即

4≤(x1-2)(x2-2)≤7,

于是

思路4(从“方程有根”等价于“函数有零点”等价于“函数图像有公共点”的认知结构出发)运用方程有根等价于两个函数的图像有交点的转化策略，利用“相对分离”得到两个简单函数(图像为一动直线和一定曲线)，掌握函数及其图像的“道”，结合数形结合的“术”，寻找运动变化中满足条件的临界位置(状态)解决本题.

图5

题中方程有解等价于方程2bx+c=-x2有解，即动直线l:y=2bx+c与曲线y=-x2(其中x∈[-1,1])有公共点，接下来是解析几何的“道”：是怎样的动直线,要求解的代数量(式)有怎样的几何意义？代数式4b+c表示的是函数f(x)=2bx+c的函数值f(2)，约束条件0≤4b+c≤3表示动直线经过如图5所示的线段AB，因此本题的几何含义是：由线段上的任意一点作斜率为2b的直线与曲线y=-x2(其中x∈[-1,1])有公共点，求b的取值范围.由图易得：0≤2b≤kBM，于是0≤b≤2.

该题人口宽，思考角度与切入点多样.但不管是哪种思路，其本质都是基于对一元二次方程在给定区间有根的理解，即取势于元思想；解法多样，但不管是哪种解法，都是基于二元问题线性规划解决的道和方程、函数认知结构的道来设计解法的术.即“元”方程取势，规划实根问题明道，数形结合与参变分离优术.

3 结束语

当前数学教育教学改革风起云涌，作为一线教师在数学问题的教学上应努力挖掘数学所蕴含的教学价值，以培育学生的理性精神，发展学生的逻辑思维能力.正如章建跃博士所指出的：解题的目的是让学生学会思考，培养和发展学生的能力，培养学生的解题习惯,加深理解概念，牢固掌握双基[2].

函数问题中“元”思想和“元”方法是处理该类问题的关键所在.我们需要明确“变元”间的依赖关系即“取势”；与相关知识(方程、不等式、曲线)等建立紧密联系的“函数认知结构”即“明道”；掌握由未知到已知、由陌生到熟悉的“换元法、分类讨论、参变分离(半分离)”等代数变形策略与方法的“技术”.只有做到“取势、明道、优术并重”，才能“顺势而为，以道统术，以术助道”，解决函数相关问题时才能够相得益彰、游刃有余.