联系模型 实现转化

李景财　王晓霞

摘要：平面几何最值问题是中考的经典题型，这类试题源于教材，高于教材，考查了学生解决综合问题的能力，常用联系与转化的思想方法，将问题转化为课本的基本模型，从而解决问题.这类问题的学习需要经历三个阶段：掌握基础知识和基本技能，应用基本图形和基本方法，运用数学思想方法等.

关键词：最值;联系模型;转化

平面几何最值问题是中考的经典题型，呈现的形式多样，涉及面广，考查了学生解决综合问题的能力.研究发现：这类试题立足教材，蕴含解答模型，运用了联系与转化的思想方法.本文以人教版教材和中考试题为素材，谈谈平面几何最值问题的解题策略.

1 直接应用公（定）理

1.1 两点之间线段最短

例1如图1，∠MON=90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM，ON上，当点B在边ON上运动时，点A随之在边OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB =2，BC=1，运动过程中，点D到点0的最大距离为（ ）.

A.√2+1 B.√5 c.√145/5 D.5/2

分析 取AB的中点E，连结OE、DE、OD，根据三角形的任意两边之和大于第三边可知：当0、D、E三点共线时，点D到点O的距离最大.用勾股定理求出DE的长，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出OE的长，两者相加即可得解.

因为OD≤OE +DE，所以当0、D、E三点共线时，点D到点0的距离最大.

所以 OD的最大值为√2+1.

故选A.

方法归纳 该问题是“在两定点之间求最小值”.根据模型“两点之间线段最短”，把两定点直接相连，对无法或难以量化的两点间的线段，可与能量化的两折线构成三角形，转化为“折线和”，利用三角形三边关系或两点间线段最短得出最值.

1.2 垂线段最短

例2 如图2，△ABC中，∠BAC= 60°，∠ABC=45°，AB =2√2，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径画◎0分别交AB，AC于E，F，连接EF，则线段EF长度的最小值为（）.

A.2 B.√2 C.√3 D.3

分析 弦EF的长与它所对的圆心角和圆直径有关，圆心角是定值，而直径是变量，当直径最小时，EF的长度最小.根据垂线段最短，直径的最小值是△ABC边BC上的高的长度.

解析 当AD是△ABC边BC上的高时，

AD =AB×sin ∠ABC=2√2×sin45°=2，

EF：2×AD/2sin60°=√3，

所以线段EF长度的最小值为√3.

故选C

方法归纳 该问题是“已知一定点和一定直线求最小值”.解答此类试题只要透过问题，提出模型，剔除不变的量，转化为一定点到一定直线的距离，再利用模型“垂线段最短”即可得出最小值.

2 应用几何变换求最值

2.1 直线同侧两定点+一动点

例3 如图3，菱形ABCD中，∠BAD= 60°，M是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，若AB长是3，则PM +PB的最小值为_____.

分析 连接BD、MD，MD交AC于点P，因为四边形ABCD是菱形，可得菱形的对角线互相垂直平分，所以点D是点B关于AC的对称点，此时PM+PB最小，且PM+PB= DM.因∠BAD= 60°，所以△ABD是等边三角形.由等边三角形的性质可知DM⊥AB，根据勾股定理即可求出MD的长.

解析 连结BD，DM，DM交AC于点P.

因为四边形ABCD是菱形，且∠BAD= 60°，所以△ABD是等边三角形，点D是点B关于AC的对称点.

方法归纳 该问题是“直线同侧两定点+一动点，求线段和的最小值”，常作任意一定点关于定直线的对称点，把同侧线段和转化为异侧线段和，实现转“折”为“直”，再根据模型“两点之间线段最短”，作出线段并求之.此类问题通常以角、三角形、矩形、菱形、正方形、梯形、圆、抛物线等为背景，它们都具有轴对称性，用轴对称变换，转“折”为“直”，从而直接应用线段公理或垂线段公理.

方法归纳 此问题是“直线同侧两定点+一动点，求线段差的最大值”，方法是：连结两定点，并延长与定直线相交，根据模型“三角形两边之差小于第三边”，当三点共线时，两边之差等于第三边，取最大值.

2.2 直线异侧两定点+一动点（造桥选址问题）

例5如图5所示，从A地到B地经过一条小河（河岸平行），今欲在河上建一座桥，应如何选择桥的位置才能使从A地到B地的路程最短？

分析 桥必须与河岸垂直，所以不论桥建在哪里，桥长这段路程是固定不变的，只需使A到河岸与B到河岸这两段路程的和最短即可.

解析 如图5，将点B沿垂直于河岸的方向向河岸平移一个河宽到点B，连接AB，交河对岸于点C，则点C即为建桥位置，CD即为所建的桥.

根据平移的特征可知，BD//B'C，BD =B'C.

所以A、B两地路为AC+CD+ BD =AC+ CD+B'C= CD +AB'.

若桥的位置建在点C处，则A、B两地的路和为AC'+ C'D' +BD'= CD +AC' +B'C'.

因AB

所以桥的位置选取在点C处，A、曰两地路程最短.

方法歸纳 该问题是“直线异侧两定点+一动点，求两线段和的最小值”.此问题要剔除河宽，转化为求两线段和的最小值.方法是：通过平移变换，将任一定点沿河岸垂直的方向平移河宽的距离，根据模型“两点之间线段最短”，连结平移得到的点与直线异侧的点，所得线段与河对岸的交点就是桥的选址.

2.3

一定点+两动点

例6（2010年鄂州）如图6，△ABC内接于半径为2的00，其中∠ABC= 45°，∠ACB= 60°，CD平分∠ACB交◎O于D，点M、N分别是线段CD、AC上的动点，则MA +MN的最小值是（）.

方法归纳 该问题是“一定点+两动点，求线段和的最小值”，方法是：作定点关于一定直线的对称点，再过对称点作另一定直线的垂线段，转“折”为“直”，根据模型“垂线段最短”，可求线段和的最小值.

3 应用辅助圆求最值

3.1 应用弧中点求最值

例7如图7，在梯形ABCD中，AD//BC，对角线ACIBD，若AD =3，BC =7，则梯形ABCD面积的最大值____.

分析 将对角线AC平移至DE，连结CE，则梯形ABCD面积等于△BDE的面积.Rt△BDE是动态的，直角顶点D在以BE为直径的半圆上移动，当点D在半圆弧的中点时，△BDE的面积最大，即梯形ABCD的面积最大.

解析 将对角线AC平移至DE，连结CE，过B、D、E三点作半圆◎O.当点D在半圆弧的中点D时，△BDE的面积最大，

因为CE =AD =3，BE =BC+ CE= 10，

所以△BD'E的面积为1/2BE×OD' =25.

所以梯形ABCD面积的最大值为25.

方法归纳 当直角三角形的斜边长是定值时，直角顶点的轨迹是以斜边为直径的圆.当直角顶点在半圆弧的中点时，斜边上的高最大，该三角形的面积最大.构建辅助圆或弧，利用弧中点的特性，是圆中求最值问题的有效途径.

3.2 应用切线求最值

例8如图8，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（4.0），点B为y轴正半轴上的一点，AC=2.设∠BOC=m，则m的取值范围是_____.

分析 点C是以点A为圆心，以2为半径的圆上的动点，∠BOC的大小由oc边的位置决定，当oc在x轴的上方与◎A相切时最小，当OC在x轴的下方与OA相切时最大.

解析以A（4，0）为圆心，以2为半径作◎A，过点0作◎A的切线OC、OC.

连结AC，则∠ACO =90°.

因为AC =1/20A =2，所以∠AOC =30°.

由圆的对称性可得，∠AOC=30°.

所以∠BOC= 60°，∠BOC=120°.

所以60°≤∠BOC≤120°.

即60°≤m≤120°.

方法归纳 到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆.利用圆的切线或切点等特殊位置，是圆中求几何最值的又一常用方法.

4 应用代数方法求最值

4.1 配方法

例9 如图9，在面积为24的△ABC中，矩形DEFG的边DE在AB上运动，点F、G分别在边BC、AC上.

（1）、（2）略;

（3）请直接写出矩形DEFG的面积的最大值，

分析矩形DEFG的面积是一个变量，它随矩形的长与宽的变化而变化，而长与宽的关系可通过相似列比例式来表示，矩形DEFG的面积的最大值可借助二次函数模型，用配方法来求.

方法归纳若一个量用兩个变量的积表示，要求这个量的最值，常用模型是二次函数，再用配方法求其最值.

4.2 判别式法

例10如图10，直线y=一1/2x+2与坐标轴交于A、B两点，以AB为直径作◎M，P为◎M上的一动点，且P的坐标为（x，y），求x+y的最大值.

分析 x+y的值是一个变量，可考虑用函数来建模，设x+y=k，用x表示y.点P到圆心M的距离等于半径，用这个等量关系建立方程，用方程的知识寻求k值的范围.

方法归纳 求含有两个变量代数式的最值，通常用辅助未知量表示两个变量的关系，用等量关系建立含有一个辅助未知量的一元二次方程，用根的判别式建立关于辅助未知量的不等式，求出辅助未知量的最值.

由本文可知，平面几何最值问题的学习需经历三个阶段：掌握基础知识和基本技能是起步阶段;应用基本图形和基本方法，即建立基本模型，是基础阶段;运用数学思想方法，是应用的高级阶段.所以平面几何最值问题的学习要循序渐进，分步实施，既要掌握基础知识与技能，获得基本活动经验与思想，又要发展思维与能力.