探究一道几何计算题的解法

摘要：本文结合教学经验，通过一道几何计算题的多种解法，启发学生对数学问题的多角度思考，加深学生对数学思想的理解和应用.

关键词：计算题;多种解法;推理

题目 如图1，△ABC为等边三角形，∠ADB=30°，AF⊥BD于点F，CE⊥DB于点E，若BD= 10，DF=2，求BE的长.

3 推理计算

解法5 如图6，延长AF至点日使得FH =AF。

连接DH，则△ADH为等边三角形.

连接CH，∠DHA =60°= ∠BAC.

进而∠DAB=∠HAC.

又AB =AC，所以△DAB≌△HAC（ SAS）.

所以CH=BD=10.

∠AHC= ∠ADB =30°= ∠HCE.

作HG⊥CE于點G，所以EF =HG=1/2CH =5.

故BE =BD -EF -DF= 10 -5 -2 =3.

解法6 如图7，延长DA交BC于点P、交CE于点G，作AH⊥CE于点H，BN⊥AP于点M

则∠DGE =60°= ∠BAC.

所以∠ACH= ∠BAN.

又AB =AC，∠ACH= ∠BAN =90°，

所以△ACH≌△BAN（AAS）.

进而EF =AH =BN=1/2BD =5.

故BE =BD -EF - DF= 10 -5 -2 =3.

解法7 如图8，在BD上取点G，使得EG= EB.

连接AG、CG，则 CG= CB=CA.

所以∠BGC= ∠GBC=1/2（180°-∠GCB），

∠CGA=∠CAC=1/2（180°一∠ACG）.

进而∠BGA =180° -30° =150°.

所以∠AGD =30°=∠ADG.

因为AF⊥BD，所以DF= GF =2.

故BE =EG =3.

解法8 如图9，以BD为边作等边△BDC，

易证△DBA≌△GBC（ SAS）.

所以AD= CG.∠BGC= ∠BDA= 30°.

作CH⊥BD于点H，CM⊥HG于点M，

则BH =DH =5.∠BGH =30°.

所以∠MGC= 60°=∠DFA.

从而Rt△MGC≌Rt△FAD （AAS）.

所以HE =MC= DF =2.

进而BE =3.

解法9 如图10，取AC中点M，连接FM并延长交EC的延长线于点G.

易证 △FAM∽△GCM（MS）.

所以FM= GM，∠G= ∠AFM.

因为AF/AD=AM/AB=1/2，且∠DAB= ∠FAM，

所以△DAB∽△FAM.

故FM=1/2BD =MG，

∠G= ∠AFM= ∠ADB =30°.

进而EF = 1/2FG =5.

故BE =10 -2 -5 =3.

以上方法各异，通过各种方法的探讨，可以培养学生运用多种知识的能力，既发散了思维，又提高了学习兴趣.

参考文献：

[I]李玉荣.突破解题局限探寻自然解法[J].数学教学研究，2017，36（01）：43 -46 +51.