对2016年常州市中考数学第18题的分析与思考

黄波波

摘要：2016年常州市中考数学第18题是一道典型的求面积最值问题，本题考查等边三角形、全等三角形、平行四边形、直角三角形、图形面积计算等相关知识，在解题的过程中可能用到配方法、数形结合思想、转化思想等.对本题的研究有利于引导学生夯实基础知识、体会数学思想、挖掘数学本质.

关键词：图形;面积;转化思想

1 题目呈现

如图l，AAPB中，AB =2，∠APB= 90°，在AB的同侧作正△ABD，正△APE，正△BCP，则四边形PCDE面积的最大值是____。

2 解题思路分析

2.1 证明四边形PCDE是平行四边形

正三角形的三个内角都是60°，三条边都相等.由∠DAB=∠EAP= 60°，可得∠BAP=∠DAE.又有AB=AD，AP= AE，所以△ABP≌△ADE，从而得到BP=DE.而BP= CP，所以CP= DE.同理可得EP= DC.所以四边形PCDE是平行四边形.

2.2 表示出平行四边形PCDE的面积

设PE =a，PC =b.要求平行四边形的面积，需要知道平行四边形的底和高，如果将PE作为底，可以过点C或者过点D作出PE边上的高（如图2或图3）.易得∠CPE =360° - ∠APB - ∠APE - ∠BPC= 150°.在图2中，∠CFP= 90°，∠CPF= 180° - ∠CPE =30°，则CF=1/2PC=1/2b;在图3中，∠DFE= 90°，易得∠DEF= 180°一∠CPE =30°，则DF= 1/2DE =1/2PC = 1/2b.因此，平行四邊形PCDE的面积可以表示1/2ab.

当然，也可以将CP作为底，过点D或者过点E作出CP边上的高，易得高为1/2a，平行四边形PCDE的面积可以表示为1/2ab.

2.3 求1/2ab的最大值

方法3 1/2ab可以表示RtAAPB的面积，因此此题转化为求AAPB的面积的最大值.

因为AB =2，若将AB作为底，就要求出AB边上的高的最大值.△APB是直角三角形，容易想到“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，因此作出AB边上的中线PG（如图4），PG =AG =BG= 1/2AB=1，点P可视为以AB为直径的圆上的一点，显然当PGIAB时，AAPB的AB边上的高取得最大值1.所以△APB的面积的最大值是1/2×2 xl =1.即1/2ab的最大值是1.

综上，四边形PCDE面积的最大值是1.

3 解题反思

3.1 重视基础知识

解这道题，要熟练掌握正三角形的性质、全等三角形的判定、平行四边形的判定、基本图形的面积计算方法以及直角三角形的一些特殊性质.没有这些知识的支撑，就无法着手解决问题.

3.2 重视基本方法

在表示平行四边形的面积时，遇到了150°的特殊角，从而想到构造含有其补角的特殊的三角形，利用含有30°角的特殊三角形求出平行四边形的高;在求代数式l/2ab的最大值的第二种方法中用到了配方法.这些基本方法的运用也为解决问题奠定了基础.

3.3 重视转化思想

转化思想贯穿数学学习的始终，无论在代数问题还是几何问题中，巧妙的转化都会使难以解决的问题

3.4 重视数形结合

著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数与形总是密不可分的.此题的解答中，我们先把四边形面积的最值问题转化为代数式的最值问题，在求代数式的最值问题时，又将代数式的值转化为三角形的面积，通过数与形的结合使问题得以解决.

3.5 重视挖掘本质

在表示平行四边形PCDE的面积时，可以将PE作为底，也可以将CP作为底，作高时方法也不唯一.但解决问题的基本思路都是借助特殊三角形表示高，然后根据平行四边形的面积公式表示出平行四边形PCDE的面积.