巧作平行线构造相似形解一道几何计算题

摘要：一道求三角形边长的几何计算题，经过三角形一边的中点或三角形的顶点作平行线构造相似三角形求解，能达到化未知为已知，化难为易的目的.本文给出该题的八种解法.

关键词：中点;顶点;平行线;相似三角形

近日，教学中遇到一道已知三角形的中线、角平分线长，求三角形边长的几何计算题.因直接求解非常困难，故想到了添加辅助线.经过仔细观察图形，排除图形干扰[l]，发现此题可以通过巧作平行线，构造相似三角形，进而运用相似三角形的性质等相关知识求解.现摘录其中的八种解法，供读者参考.

题目如图1，已知AD、BE分别是AABC的中线和角平分线，ADIBE，垂足为点F，AD =BE =4，求AC的长.

1 过AABC边BC的中点D作平行线构造相似三角形求解

评注 此解法首先通过△ABF≌△DBF，得到AF= DF =2.然后，过△ABC边BC的中点D作BE的平行线，巧妙地构造了两对相似三角形：△CDG∽△CBE.△AFE∽ △ADG.运用相似三角形的性质，不但顺利得到AC与AE间的数量关系，还求出了EF的长，这就为运用勾股定理求AE的长创造了重要条件.求出AE的长，旋即得到AC的長.

解法2 如图2，过点D作DH//CA交BE于点H.

由DH//CA，得△BDH∽ △BCE.

评注 此解法过△ABC边BC的中点D作AC的平行线后，巧妙地构造了一对相似三角形和一对全等三角形（相似三角形的特例）：△BDH∽△BCE，△AEF：△DHF.运用相似三角形、全等三角形的性质，顺利得到AC与AE间的数量关系以及EF的长.运用勾股定理求出AE的长，旋即得到AC的长.

2 经过AABC的各个顶点作平行线构造相似三角形求解

解法3 如图3，过点C作CM//BE交AD的延长线于点M.

评注 对于解法3-解法7，就构图而言，解法3是过AABC的顶点G作BE的平行线，巧妙地构造了一对全等三角形（相似三角形的特例）和一对相似三角形：△BFD∽△CMD，△AEF∽△ACM;

解法4是过AABC的顶点C作AD的平行线，巧妙地构造了两对相似三角形：△BDF∽△BCN，△AEF∽△CEN;

解法5是过AABC的顶点A作BE的平行线，巧妙地构造了两对相似三角形：△DBF∽△DPA，△CEB∽△ACAP：

解法6是过AABC的顶点A作BC的平行线，巧妙地构造了一对全等三角形和一对相似三角形：△AFQ≌△DFB，△AQE∽△CBE;

解法7是过AABC的顶点B作AC的平行线，巧妙地构造了一对全等三角形和一对相似三角形：△ACD≌△RBD.△AEF∽△RBF.

以上各种解法，运用相似三角形、全等三角形的性质后，都比较顺利地得到了AC与AE间的数量关系以及EF的长.再运用勾股定理求出AE的长，旋即得到AE的长.

解法8 如图8，过点B作BS//AD交CA的延长线于点S，则∠SBE= ∠AFE =90°.

评注 解法8是过AABC的顶点B作AD的平行线，巧妙地构造了两对相似三角形：△CAD∽△CSB，△EAF∽ △ESB.先由前一对相似三角形，运用性质得到AC =AS以及SB的长;再运用勾股定理求出ES的长;之后，由后一对相似三角形，运用性质得到EA的长，这样，AS的长便唾手可得，旋即得到AE的长.

实践表明，作平行线构造相似三角形是解决此类问题的常用方法.运用这种方法，建立了未知量和已知量之间的关系，达到了化未知为已知，化难为易的目的.一题多种解法，不但能体会作辅助线的好处，还能培养思维的发散性、广阔性和深刻性[2]，从而提升灵活解题和创新解题的能力.

参考文献：

[1]马先龙.构造“K型图”速解题[J].中学生数学，2014（10）：43 - 44.

[2]罗增儒.数学解题学引论[M].西安：陕西师范大学出版社，2008.