2018年多边形折叠中考题赏析

张建华

摘要：本文通过对2018年的有关多边形折叠中考题的分析，抓住折叠中角与边不变，动中求静，变中求不变，必要时动手操作，化抽象为直观，能达到化难为易的解题效果.

关键词：中考试题;折叠问题;多边形折叠

《全日制义务教育数学课程标准（2011）》要求“在數学教学中，应当注重发展学生的数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力和模型思想”.要求学生在观察、操作等活动中获得直观感受，用动手实践的方式去学习和探索，倡导对学生动手操作能力的培养.因折叠问题能考查学生思维分析能力、空间想象能力、推理能力和动手能力，故折叠型题备受命题者青睐.现撷取2018年部分多边形折叠中考题，以飨读者.

1 三角形的折叠

例1（2018年徐州）如图1，将等腰直角三角形纸片ABC对折，折痕为CD.展平后，再将点B折叠在边AC上（不与A、C重合），折痕为EF，点B在AC上的对应点为M，设CD与EM交于点P，连接PF.已知BC=4.

（1）若点M为AC的中点，求CF的长;

（2）随着点M在边AC上取不同的位置，

①△PFM的形状是否发生变化？请说明理由;

②求△PFM的周长的取值范围.

解析（1）因为M为AC的中点，

点评 本题是将等腰直角三角形进行“两次折叠”问题，主要考查了等腰直角三角形的性质和判定，相似三角形的判定和性质，三角形的外角性质，余角的性质及勾股定理.第一次折叠的折痕CD是定线段即等腰△ABC底边上的高，第二次折叠的折痕EF是动线段.第（1）题求CF的长，常设要求的线段CF长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示线段FM的长度，选择Rt△CFM，运用勾股定理列出方程求出答案;第（2）题△PFM的形状是不变，通过“导角”先证△POM∽△PMC和△MPC∽△OFC，得出OM/PO=OC/OF，再证△POF∽△MOC，得出∠PFO= ∠MCO= 45°，可证△PFM的形状是等腰直角三角形;第（3）以第（2）题为基，将△PFM的周长转化为底MF的代数式，求出MF的范围即可.

2 正方形的折叠

例2（2018宿迁）如图3，在边长为1的正方形ABCD中，动点E、F分别在边AB、CD上，将正方形ABCD沿直线EF折叠，使点B的对应点M始终落在边AD上（点M不与点A、D重合），点C落在点N处，MN与CD交于点P，设BE=x.

（1）当AM=1/3时，求X的值;

（2）随着点M在边AD上位置的变化，△PDM的周长是否发生变化？如变化，请说明理由;如不变，请求出该定值;

（3）设四边形BEFC的面积为S，求S与x之间的函数表达式，并求出S的最小值.

点评 本题是四边形折叠综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理及二次函数的最值等知识.第（1）问利用勾股定理构建方程;第（2）问首先设AM=y.则BE= EM =x。MD=1 -y，在Rt△AEM中，由勾股定理得1+y2 =2x，其次抓住图中“K字型相似”或“一线三等角”相似，可证△AEM∽△DMP，利用相似三角形的性质，表示△DMP的周长，再进行整理代入;（3）过点F作FQ⊥AB，证Rt△ABM≌Rt△QFE（ASA），得AM= QE，根据梯形的面积公式构建二次函数，利用二次函数的性质解决最值问题.

3 矩形的折叠

例3（2018年镇江）（1）如图5，将矩形ABCD折叠，使BC落在对角线BD上，折痕为BE，点C落在点C处，若∠ADB= 46°，则∠DBE的度数为____。.

（2）小明手中有一张矩形纸片ABCD，AB =4，AD =9.

【画一画】

如图6，点E在这张矩形纸片的边AD上，将纸片折叠，使AB落在CE所在直线上，折痕设为MN（点M，N分别在边AD，BC上），利用直尺和圆规画出折痕MN（不写作法，保留作图痕迹，并用黑色水笔把线段描清楚）;

【算一算】

如图7，点F在这张矩形纸片的边BC上，将纸片折叠，使FB落在射线FD上，折痕为GF，点A，B分别落在点A，B处，若AG=7/3，求B'D的长;

【验一验】

如图8，点K在这张矩形纸片的边AD上，DK =3，将纸片折叠，使AB落在CK所在直线上，折痕为HI，点A，B分别落在点A'，B处，小明认为BI所在直线恰好经过点D，他的判断是否正确，请说明理由.

解析（1）如图9，因为四边形ABCD是矩形，

所以 AD//BC.

所以∠ADB= ∠DBC= 46°.

由翻折不变性，∠DBE= ∠EBC=1/2∠DBC =23°.故答案为23.

（2）【画一画】如图9.

点评 本题是四边形的综合题，主要考查了矩形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数，翻折变换等知识的综合运用，运算能力、作图能力和逻辑推理能力.（1）利用矩形的性质得AD//BC，∠DBC=∠ADB=46°，再由折叠，得∠DBE=1/2∠DBC =23°;（2）由题意知MN是AB，CE相交所得锐角的平分线，据此尺规作图画出MN;（3）因DB=DF -B'F，将问题转化为求DF与B'F的长，先证△DGF是等到腰三角形，得DF= BF，在Rt△CDF中可求CF，问题解决;（3）在Rt△ICB中，求tan∠IB'C的值，连接ID，在Rt△ICD中，求tan ∠DIC的值，根据tan∠ IBC与tan ∠DIC是否相等判断B'I，所在直线是否经过点D.由动手操作获得感性认识，再由逻辑推理上升到理性认识，体现“大胆猜想，小心求证”的认识过程.