数学无痕教育的实践特征

徐斌

摘要：无痕教育的基本要义是隐藏教育目的与意图，采取暗示和迂回的方式，从而让学生在顺其自然中学习和发展。无痕与有痕是辩证统一的关系。教育的目标是让学生获得有痕的发展，而学习的过程应该让学生在无痕中进行。寻求无痕教育的有痕特征有利于形成无痕教育的实践策略，从而指导数学课堂教学，促进学生素养发展。

关键词：无痕教育;数学课堂;实践特征

中图分类号：G623.5 文献标志码：A 文章编号：1673-9094（2019）05A-0016-04

无痕教育的基本要义是隐藏教育目的与意图，采取暗示和迂回的方式，从而让学生在顺其自然中学习和发展。“无”和“有”本是一对意义相反的概念，是中国哲学的永恒命题，正如《道德经》所言：“天下万物生于有，有生于无”“圣人处无为之事，行不言之教”。而“无痕”与“有痕”则是一对辩证统一的概念。我们常说无中生有，从无到有，都表示两者之间的相生相长的内在联系。

何谓有痕？有痕即具有痕跡，留有印记。学生通过课堂学习首先应该获得知识，形成技能，应该与走进课堂之前相比有明显的进步与变化。这是每一节课堂的基本追求，理想的课堂学习效果应该是每个学生都在其原有基础之上获得显著的发展和提高。何谓无痕？无痕即没有痕迹，不留印记。儿童是一个个鲜活的生命体，而生命的成长是无时无刻不在变化着的，真正的教育是像呼吸一样自然而然的发展过程。有痕，体现的是基础知识和基本能力的显性变化;无痕，体现的是必备品格和关键能力的隐性提升。要达到无痕的境界，需要经历有痕的阶段。教育的最终目的是要让学生获得带得走、看不见而又用得着的东西，如当下都在研究与提倡的核心素养。核心素养其实是学生发展的“隐形的翅膀”，具有“无形的力量”，如同武侠小说里面的“无招胜有招”的境界。

在数学学科如何实施无痕教育呢？笔者以为首先要抓住无痕教育的几个“有痕”特征，从而寻求数学课堂中的具体实践策略。

一、无痕教育的基本特征

1.学习内容与儿童生活经验的对接。叶圣陶曾经说过“教育像农业”，杜威也曾经指出“教育即生长。”“农业”意味着默默耕耘，静待花开，春风化雨，不急不躁，从容不迫，顺应自然。“生长”本是生命的特征，而任何生命体的生长是看不出明显痕迹的，课堂是生命体之间的碰撞与交流，因此，教育即生长则意味着教育本无痕。数学学科的特性是高度的抽象性、思维的严谨性和应用的广泛性，而儿童的思维则是以形象性和具体性为主。因此，义务教育阶段的数学课程中，许多学习内容都可以在儿童的实际生活中找到背景。数学课堂学习内容的选择应该从儿童的生活经验出发，贴近儿童的生活现实，并适当借助已有旧知，寻找儿童生活现实与数学现实之间的“生长点”，让新知在儿童的心田自然生长出来，使得儿童在不知不觉中开始学习之旅，使得学习像呼吸一样自然发生。

2.学习方式与儿童认知规律的适应。儿童是怎样学习和思维的？正如前苏联教育家乌申斯基所说“一般说来，儿童是依靠形状、颜色、声音和感觉来进行思维的”。儿童不是成人，也不是小大人;儿童不是抽象的人，儿童是一个个具体而鲜活的生命体。儿童就是儿童，儿童具有独特的年龄特征和认知规律。而数学学科的高度抽象性和严密逻辑性常常使得一些儿童过早地失去了对数学的兴趣。因此，数学课堂学习的方式应该适应儿童，适合儿童，应该更多采用直观具体与生动形象的方式，激发儿童的学习兴趣与动机，让儿童在积极主动中参与知识的形成过程，让儿童在潜移默化中理解数学知识的本质。

3.学习过程与儿童互动交流的融合。叶澜教授曾经说过，课堂学习是生命体之间交往互动与共同发展的过程。课堂的最大魅力就在于其无法真正预设，无法完全复制和倒回重来，因此充满了生命力，充满了无限可能，具有神秘的美感。儿童学习数学的过程应该首先建立在自己实践与思考的基础之上，并充分发挥同伴之间的交往互动与合作交流的作用，让每个儿童都能体验成功的喜悦，增强自信心，锻炼克服困难的意志，养成良好的学习惯，不断提高自身的数学素养。

4.学习历程与儿童全面发展的同步。义务教育阶段的数学课程是培养公民素质的基础课程，面向的是全体儿童，使得“人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展”。儿童通过数学课堂不仅获得知识技能，还要发展思维与感悟思想，更为重要的是形成终生受用的核心素养。因此，伴随着儿童学习历程的应该同时充满了求知的快乐，充满了积极的情感，充满了美好的回忆，进而为其一生的可持续和全面发展打下坚实的基础。

二、数学无痕教育的实践策略

1.不知不觉中开始

良好的开端是成功的一半，儿童课堂学习活动的开启，应该在自然而然中出发，而不是赤裸裸地灌输和强制性接受。只有引发了对新知的内在需要，才能激发起儿童学习的内驱力。而要做到不知不觉中开始，前提是教师对所教内容的整体把握。因为每一门学科的教学内容都具有整体性和系统性，每册教科书、每个教学单元、每一节课时、每一个知识点的内容之间都有着内在的联系。优秀的教师总是能够瞻前顾后，迁移渗透，把握所教内容与以前学习内容以及将来学习内容之间的实质性联系，为学生选准合适的认知起点，让学生在不知不觉中开始新知学习。

例如教学《平均数》一课在新知引入时可以做如下设计：课始，师生谈话从学生熟悉的各种游戏活动入手，引出学生富有生活经验的套圈游戏;然后，邀请全体学生担任套圈比赛的裁判，并依次出现四次套圈比赛统计图，让学生充分感知数据和图表，了解套圈比赛的具体信息，运用生活经验和已有旧知做出判断。四次套圈比赛，由易到难，逐步深入：第一次比赛，人数相同且每人套中个数相同，一目了然，直接可以判断胜负;第二次比赛，人数相同，但每人套中个数不同，求和即可比较胜负;第三次比赛，人数不同，但每人套中个数相同，观察图中整体水平即可比较判断胜负;第四次比赛，人数不同，每人套中个数也不同，无法直接观察和比较判断。这样，在充分的数据感知中，学生逐步学会寻找一组数据的代表，逐步产生对平均数的需要，同时使得平均数的含义具有丰富的直观基础，为接下来理解平均数的意义做了充分的感性支撑。

不知不觉中开始的策略，从教育心理学角度看，是确立合适的学习起点，即明确学生“现在在哪里”。有了对教学内容的整体把握，就有了对学生原有认知与学习状态的准确了解，就有了对学生生活经验与思维体验的适度理解。有了这样的教学前提，就能够进一步明确把学生“将要带向哪里”以及“如何走向那里”，从而无痕地将学生引向新知的边缘，让学生油然而生对新知学习的需求。

2.潜移默化中理解

“为理解而教”是课堂教学的重要目标，而理解知识的关键是顺应儿童的思维特点和认知规律。课堂的本体是儿童的学习，有效的数学学习必然建立在对儿童学习心理准确把握的基础之上。小学阶段儿童的认知属于皮亚杰指出的具体运算思维阶段，其最大特点是思维离不开具体事物的支持，这也导致小学儿童的感知觉、观察力和记忆力均处于初步发展水平，其学习数学的动机和兴趣很不稳定。在这样的前提之下，儿童学习数学的过程，需要充分借助形象直观的教学手段，充分利用新旧知识的相互作用，以顺应儿童的学習心理，让儿童在不露痕迹中获得新知意义。

例如教学《解决问题的策略（画图）》一课时，为帮助学生理解“长方形的长增加3米，面积增加了18平方米”这一难点，先让学生动手实践画图尝试，接着让学生到黑板上演示画图过程时分三步进行：第一步画出一条长增加3米（见图1），教师提问：画对了吗？面积增加了吗？第二步再画出另一条长增加3米（见图2），提问：两条长都增加了3米，面积增加了吗？第三步画出原来长方形的宽平移过来后，组成增加的部分面积（见图3）。

这样的教学设计，表面上是学生一步步根据需要画图的动机变化过程，实质上是学生从动作思维到形象思维再到逻辑思维不断发展的过程，也是学生理解抽象的文字信息并深度理解文字信息背后蕴藏的数学内涵的过程。这样的理解过程，不是教师的强制安排，也不是放任学生无序操作，而是教师不经意的引领和学生潜移默化中走向理解的过程。

在潜移默化中理解的策略，需要的是对儿童学习心理规律的深度洞察。基于儿童学习心理的数学教学，是在儿童数学学习的过程中，尤其在新知理解阶段，在学科元素中融入儿童认知特点，能够使新知学习更适合儿童的认知发展，为学生深度理解知识、发展技能和形成能力打下坚实的基础。

3.循序渐进中掌握

学生学习数学的过程，既是在教师引导下的意义建构过程，也是在自身需求发展中的自主建构过程。无痕教育视野下的学生数学学习过程，更主要的体现为教师精心设计学生的学习进程，从某种意义上说是一种“进”与“退”的艺术。通过适当的“退”和必要的“进”，能使得学习过程成为学生潜移默化地掌握知识和技能的过程。从某种意义上说，“退”是“进”的准备和基础，“进”是“退”的发展与提升。在课堂上，“进”“退”之间体现的是一种行云流水般的从容节奏，是一种水乳交融般的无痕状态。

例如学生学习《倍的认识》一课中，教师在巩固练习阶段设计了如下的渐变式教学：

师：（出示图4）红带子的长是绿带子的几倍？

生：红带子的长是绿带子的1倍。

师：其实两根带子的长度是什么关系？

生：一样长。

师：（出示图5）这时，红带子的长是绿带子的几倍？为什么？

生：红带子有这样的5份，所以是绿带子的5倍。

师：（出示图6）现在，带子有了怎样的变化？

生：带子变细窄了。

师：这时红带子的长是绿带子的几倍？

生：还是5倍。

师：带子变细窄了，为什么还是5倍呢？

生：因为长度没有变化。

师：（出示图7）那么，现在两根带子又变化成什么了？

生：变成了线段。

师：第二条线段的长度是第一条的几倍？

生：还是5倍。

学生对倍的概念的掌握，需要从直观形象出发逐步进行抽象概括。这里，教师设计了从带子图到线段图的渐变过程：首先是从一个量（只有绿带子）没有“倍”，到两个量（绿带子和红带子一样长）的“1倍”的关系变化;然后是从“1倍”关系变化为“5倍”的关系;接着再变化带子的宽度而长度不变，让学生在变和不变中掌握概念本质;最后又从带子图变为线段图，进一步抽象出倍的特征。这样的设计与教学，学生在循序渐进中逐步走向数学概念的本质，形成相关技能，进而应用技能解决简单的实际问题。

在循序渐进中掌握的策略，需要教师能够把握学生技能形成的规律，通过“进”与“退”的过程设计，从简单出发，向本质迈进，从而引领学生逐步地掌握知识技能，在不露痕迹中培养思维能力，在淡墨无痕中发展数学思想。从这个意义上说，数学教学的智慧就在于教师能在“进”与“退”之间游刃有余。

4.春风化雨中提升

众所周知，比知识重要的是方法，比方法重要的是思想，比思想重要的是精神。数学知识的教学，要注重知识的“生长点”和“延伸点”，把每堂课的知识教学置于整体知识的体系中，引导学生从知识的理解到技能的掌握，同时要透过知识技能的学习帮助学生感悟数学思想，积累数学活动经验，进而培养学生积极的情感态度和价值观。

例如教学《解决问题的策略（替换）》一课，教者设计了如下板书（如图8）：

在学生初步学习例题（倍数关系的替换）之后，通过变式题出示相差关系的替换。更为重要的是结合学习过程中逐步形成的板书进行观察与对比，使学生发现倍数关系的替换结果是总量没有变，而相差关系的替换结果总量发生了变化;并且进一步观察发现倍数关系的替换结果杯子的总个数发生了变化，而相差关系的替换结果杯子的总个数却没有变化。这样的设计，帮助学生建立了替换策略的认知结构，学生获得的不仅仅是对这两种类型替换策略的具体知识和技能，而是透过学习过程感悟了等量代换、守恒的数学思想以及变与不变的辩证意识，提升了理性精神。

总之，无痕教育理念指导下的数学课堂，是学生享受教师服务的过程。学生的学习经历是充实快乐的，学习结果是充分有效的，学习的过程是充满智慧的。

责任编辑：颜莹