精心设计问题情境 促进数学自然生长

李树臣 孔凡瑞

【摘 要】 创设有价值的问题情境是数学教学的一个重要环节，直接影响到课堂教学的效率.创设问题情境应遵循一定的原则，主要有激发学生学习兴趣的原则，引发学生认知产生冲突的原则，螺旋上升的原则以及注重培养应用意识的原则.

【关键词】 激发兴趣;认知冲突;螺旋上升;应用意识

《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《课标（2011年版）》）在“教学建议”中指出，“数学知识的教学，要注重知识的‘生长点与‘延伸点，把每堂课教学的知识置于整体知识的体系中，注重知识的结构和体系，处理好局部知识与整体知识的关系，引导学生感受数学的整体性”[1].随着对这个理论的学习和应用，江苏省著名特级教师卜以楼提出了“生长数学”的概念，生长数学是在课程理念背景下自然生长出来的一种教学思想和实践行为[2].

为了更好的落实这个理论，促进学生积极的进行观察、思考、探索、交流等数学活动，在活动的过程中获得数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验，实现知识、能力、品质等诸“素养”的自然生长.我们应按照一定的原则，努力创设出“有助于学生自主学习的问题情境”[1].这些原则主要有：

1 激发兴趣原则

《课标（2011年版）》指出：“数学教学活动，特别是课堂教学应激发学生兴趣，调动学生积极性，引发学生的数学思考，鼓励学生的创造性思维.”[1]教师无论是进行设计、实施课堂教学，还是组织各种数学活动，都应根据课程内容，从学生的实际出发，把激发学生的学习兴趣作为第一原则.

根据“激发兴趣原则”设计的问题情境应具有如下特征[3]：

（1）启发性

问题能引起学生的联想，激发其学习兴趣，促使学生的思维处于活跃状态，并进行积极的数学思考，逐步养成独立思考的习惯，通过思考不仅知道是“什么”，还能明确“为什么”.

（2）趣味性

问题富有情趣、意味和吸引力，能够使学生在思考的同时感到有趣并且愉快，激发起强烈的探究欲望，促使学生在“生疑——质疑——解疑”的过程中获得新的数学基础知识、形成基本技能.

（3）发展性

问题能给学生深化理解、产生疑问留出相应的时间和空间，有可能使学生在思考、探究的过程中产生“创新”的火花，进而开发智力，生长能力.

《课标（2011年版）》界定的四个部分的课程内容之间以及每个部分内部的知识之间都存在着一定的“实质性”联系，教师在设计问题情境时，要深入研读教材，准确找到知识之间的“实质性”联系，把这种联系作为新知识的生长点，围绕“生长点”设计问题情境，引发学生的学习兴趣.

案例1 无理数的建立过程.

学生对无理数的概念普遍感到“生疏”，不容易理解和接受.在引进无理数概念时，我们可创设下面的问题情境，激发学生兴趣，引发学生进行数学思考、探究等活动：图1

（1）如图1，作一个等腰直角三角形ABC，使其腰长等于1，则斜边AB的长=_______.

（2）你学过的整数有哪些？2是整数吗？如果不是，请估计2可能在哪两个连续整数之间？请相互交流自己的看法.

（3）2可能是整数1，2之间的某一个分数吗？

设计意图 在本课题之前，学生已经探索到勾股定理，并且运用勾股定理能求解直角三角形中边的长度问题.为了让学生感受到2是一个确实存在，但又不同于已经认知的数，我们设计了上面的三个问题.学生通过计算问题（1），很容易得到AB=2，这个结果就是借助于勾股定理通过计算得到的，“2”可以认为是勾股定理“自然生长”的结果.提出问题（2）的目的是激发学生探究的兴趣和欲望.学生通过独立思考、相互交流，得到2不是整数，且1<2<2.问题（3）能引导学生从回忆最简分数的意义出发，用反证法说明2不是分数.从而确认2既不是整数也不是分数，这时引出无理数的概念.这个概念是整数和分数（有理数）的“生长点”或“延伸点”.

2 引发认知冲突的原则

认知冲突是指学生已有的认知结构与当前所学习的情境之间存在着一定的矛盾.瑞士心理学家皮亚杰认为：“个体的认知发展是在认知不平衡时通过同化或顺应两种方式来达到认知平衡的，认知不平衡有助于学生建构自己的知识体系.”[4]在数学课堂教学之前，教师要根据“认知冲突”的原则，努力设计一些能使学生认知发生冲突的问题情境，这样的问题情境不仅能激发学生的学习兴趣，激励学生通过数学思考找出“冲突”的原因，从而改造或扩大学生的认知结构.

认知冲突下数学学习的一般过程如图2所示[4]：

学生原本平衡的数学认知结构，当输入能引发认知冲突的学习材料时，便出现“矛盾”，不再平衡，學生为了寻求新的“平衡”，自然而然的就会产生思考、探索、交流、解答这些问题的“内动力”.为了促使矛盾的数学认知结构达到新的“平衡”，必须对原有的数学认知结构进行改造，其基本形式有同化或顺应两种.无论采用哪种方式，学生都将“经历观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动过程”[1].在学生参与这些相关活动之后，含有“矛盾”的数学认知结构将得到优化和发展，实现新的平衡，完成一个小单元的学习任务.

事实上，这个新的平衡是相对的、短暂的，它是下一个新的不平衡的起点，数学学习就是在这种“平衡—不平衡—平衡”的循环往复过程中进行的.伴随着这个过程的反复进行，学生才能完成对《课标（2011年版）》界定的各部分课程内容的学习，从而实现掌握“四基”，提高数学能力，培养数学情感、发展数学素养的目的.

案例2 电话号码怎么是负的呢？

在学生学习了一元一次方程的解法之后，数学老师给学生布置了下面的一个问题：

我家的电话号码是八位数，其中前四位数字是相同的，后四位数是连续的自然数.全部数字之和恰好等于电话号码的最后两位数，更巧的是，这个电话号码的后五位数也是连续的自然数.请问我家的电话号码是多少呢？

下面是小林给出的解答：

设前四位的数字均为x，则后四位数字依次为x+1，x+2，x+3，x+4，则有

x+（x+1）+（x+2）+（x+3）+（x+4）=10（x+3）+（x+4），解得x=-8.

老师：电话号码怎么能是负的呢？

设计意图 《课标2011版》指出，教师在具体教学过程中“师生双方往往会‘生成一些新的教学资源，这就需要教师能够及时把握，因势利导，适时调整方案，使教学活动收到更好的效果”[1].在生成的资源中有“正”“反”两个方面，教学中我们既要利用正面资源，更要利用“反”面资源.本案例就是在学生掌握了一元一次方程的解法之后，利用反面资源的一个问题.目的是让学生再一次经历“能根据具体问题情境中的数量关系列出方程，体会方程是刻画现实世界数量关系的有效模型”[1]的过程，逐渐培养和提高学生应用数学知识解决实际问题的能力.

列方程解应用题，首先要引导学生反复阅读题意，正确理解题意，然后找到一个“等量关系”，从而建立方程模型.就本题而言，建立方程模型的关键在于正确理解“老师的电话号码的后五位为连续自然数”.五位连续自然数可以有两种情况：（1）逐渐增大;（2）逐渐减小.这就是问题的关键所在，也是学生常出现错误的地方.本设计就从这个“易错点”出发，创设了小林在逐渐增大的情况下得到错误结果的情境，导致出现错误的结论，引起认知冲突.学生面对小林的错误解法，自然的表现就是进行思考与探索，找到错误的原因，并给出下面正确的解答：

设前四位的数字均为x，那么后四位数字依次为x-1，x-2，x-3，x-4，

则有x+（x-1）+（x-2）+（x-3）+（x-4）=10（x-3）+（x-4），

解得x=8.所以后四位数为7654，从而可知，老师的电话号码为88887654.

教师要在认真研读《课标（2011年版）》和教材的基础上，结合具体的学习内容，遵循“认知冲突”的原则，根据学生的认知发展水平，在“最近发展区”内，努力把新的学习内容设计成能导致学生认知结构产生矛盾的问题情境.当把这些问题在课堂上呈现给学生时，将导致学生原来处于平衡状态的数学认知结构不再平衡，学生必然会产生进行数学思考、探索、交流、找出为什么不平衡的“内动力”.

3 螺旋上升的原则

《课标（2011年版）》在“教材编写建议”中强调指出“教材在呈现相应的教学内容与思想方法时，应根据学生的年龄特征与知识积累，在遵循科学性的前提下，采用逐级递进、螺旋上升的原则”[1].教材中的一些重要数学概念与数学思想不是通过一两次强调，学生就能理解或掌握的.

例如，数学思想是一种重要的基础知识，《课标（2011年版）》已把学生掌握一些基本的数学思想确定为课程的目标.而学生对于任何一种具体数学思想的感悟绝不是“一朝一夕”能够完成的，笔者认为，在创设引导学生学习“载有”数学思想的“显性”知识的教学情境时，要有长远规划，体现“反复强化，多次渗透，螺旋上升”的原则.

案例3 盘点渗透“数形结合思想”的知识载体.

《课标（2011年版）》的第一句话指出“数学是研究数量关系和空间形式的科学”[1].数学就是研究“数”和“形”的一门科学，数学的全部内容就是围绕数和形两个方面对客观事实进行提炼、演变、发展而来的.这种把数量关系和空间形式两个方面结合起来分析实际问题，并充分利用这种结合解决问题的过程就体现了数形结合的思想.

与《课标（2011年版）》相配套的几套初中数学教材都是靠数形结合思想把“数与代数”“图形与几何”“统计与概率”“综合与实践”的课程内容“串联”起来的.可以說教材中的每一章内容几乎都能找到数与形结合的“影像”.

我们以青岛版初中数学教材为例，对渗透数形结合思想的知识点扫描如下[5]：

七年级第1章“我们身边的图形世界”中，在研究正方体顶点的个数和棱的条数时就是引导学生从观察正方体模型得到的结果.《课标（2011年版）》提出的第一个基本事实“两点确定一条直线”反映了确定一条直线所需要点的最少“个数”，这个事实是学生通过实际作图得到的.在第2章“有理数”中，对于“数轴”是借助于“温度计”的直观形象进行感知的，“温度计”模型的直观形象有助于学生理解数轴的概念、明确构成要素.在第3章“有理数的运算”中，加法法则是借助于数轴，让学生充分利用数形结合的方法经过多次自主探究得到的.第7章“一元一次方程”中，在解决行程问题时，经常借助于线段的直观形象特点表示有关量之间的数量关系.第13章“平面图形的认识”，在探究多边形的内角和、外角和的过程中，图形的直观特点起了关键的作用.第14章“位置与坐标”中，有序实数对和平面直角坐标系中的点的一一对应关系、直角坐标系中平面图形各点的坐标、求平面图形的面积等都体现出“数”与“形”在一定条件下可以互相转化的关系.八年级第7章“实数”中，利用几何作图方法探究长度是2，3，5等无理数的线段时，体现出了数形结合的独特意义.第10章“一次函数”中的大量问题都是借助于图形加以解决的.九年级第2章“解直角三角形”中很多概念的形成，利用直角三角形的三边关系、三角关系，边角关系以及勾股定理等解决大量实际问题时，都是借助于几何图形的直观特点完成的.第3章“对圆的进一步认识”中，在探究圆的一些性质、定理以及结合勾股定理解答有关计算问题时，都是数形结合的完美体现.第4章“一元二次方程”中，利用一元二次方程的知识求解有关黄金分割线段的方法，可以说是利用数的知识解决形的问题的范例.第5章“对函数的再探索”中，二次函数、反比例函数的大量知识都利用它们图象的特征来认知和探究的，在探究二次函数与一元二次方程的联系时，数形结合起了“桥梁”的作用.在利用函数的知识解答问题、特别是解答有关函数的综合性问题时，函数图象的直观特征常常让学生有“柳暗花明又一村”的感觉，从而轻松走过“走投无路”的境地.

在“统计与概率”部分，各种统计图表就是利用几何图形表达统计资料的一种直观方式.例如，在八年级第4章“数据分析”中，学生在认知有关统计量和统计图表时，数与形的结合为学生清楚、准确的表示数据、分析数据、利用数据进行分析判断，从而科学决策起到了重要的作用.九年级第6章“事件的概率”中，频数直方图，随机事件的变化趋势图等为我们直观的认识、探究随机现象的变化趋势提供了直观的帮助，树状图为我们计算有关事件的概率节省了时间，并且提供了准确可靠的保证.

青岛版初中数学教材就是靠数形结合思想将《课标（2011年版）》界定的“课程内容”“串联”起来的.它为同学们理解、掌握这些课程内容以及应用有关知识解决一些实际问题提供了直观上的帮助，可以说“数”与“形”的相互结合体现了数学的本质.

我们在对相关内容的教学进行设计时，应体现出这种多次强化、渗透数形结合思想的特点.只有这样，学生在学习相关知识的同时才能逐步感悟这一思想，体会到二者之间本来固有的实质性的联系以及数学的整体性和文化价值.

4 培养学生应用意识的原则

《课标（2011年版）》指出“应用意识有两个方面的含义：一方面有意识利用数学的概念、原理和方法解释现实世界中的现象，解决现实世界中的问题;另一方面，认识到现实生活中蕴涵着大量与数量和图形有关的问题，这些问题可以抽象成数学问题，用数学的方法予以解决.在整个数学教育的过程中都应该培养学生的应用意识”[1].根据这个要求，数学教学设计应遵循培养学生应用意识的原则，即在创设问题情境时，应根据教学内容，尽量设计一些运用数学知识解决问题的活动，这样的活动要努力体现“问题情境—建立模型—求解验证”的过程.

关于培养数学意识（应用意识）的意义，我们可以引用丁石孙教授的一段话简述、概括如下：

“使学生真正懂得数学究竟是什么，这是十分重要的.数学的作用，并不在于它的哪一条公式，哪一条定理有多大作用，数学提供给同学们很重要的是观念和意识，这种观念和意识不但对于具体的学科会有很大的作用，甚至对于学生今后做一切工作，如何思考问题，如何抓住问题的要点，都会有用.”[6]

案例4 背诵经典诗词问题（2018年山东威海中考试题）.

为积极响应“弘扬传统文化”的号召，某学校倡导全校1200名学生进行经典诗词诵背活动，并在活动之后举办经典诗词大赛，为了解本次系列活动的持续效果，学校团委在活动启动之初，随机抽取部分学生调查“一周诗词诵背数量”，根据调查结果绘制成的统计图（部分）如图3所示.

大赛结束后一个月，再次抽查这部分学生“一周诗词诵背数量”，绘制成统计表：

请根据调查的信息分析：

（1）活动启动之初学生“一周诗词诵背数量”的中位数为;

（2）估计大赛后一个月该校学生一周诗词诵背6首（含6首）以上的人数;

（3）选择适当的统计量，从两个不同的角度分析两次调查的相关数据，评价该校经典诗词诵背系列活动的效果.

析解 （1）由条形统计图可知，活动启动之初能背诵5首的有20人，由扇形统计图可知活动启动之初能背诵5首的人数占调查总数的60°360°=16，共调查20÷16=120（人）.活动之初能背诵4首的有120-15-20-16-13-11=45（人），这组数据中的第60个数为4，第61个数为5，因此，这组数据的中位数为4+52=4.5（首）.

（2）大赛后一个月该校学生一周诗词诵背6首（含6首）以上的人数为1200×40+25+20120=850（人）.

（3）根据数据的集中趋势，从不同的角度分析即可.如，活动启动之初的中位数是4.5首，众数是4首，大赛比赛后一个月时的中位数是6首，众数是6首，由比赛前后的中位数和众数看，比赛后学生背诵诗词的积极性明显提高，这次举办后的效果比较理想.

设计意图 “统计与概率”方面的内容主要承载着形成与发展学生的数据分析观念、运算能力、推理能力、应用意识等“核心概念”的任务，这些都是学生数学核心素养的重要组成部分.解答“统计与概率”方面的问题首先就是通过阅读题目，获取尽可能多的信息，然后利用这些信息进行解答.

本题分为三个小题，只要能求出第一个问题的答案，第二、三个问题将随之解决.解答第（1）个问题的关键有二：一是从条形统计图中得到能背诵5首的有20人，从扇形统计图中发现背诵5首的人数对应的扇形的圆心角是60°，从而求出能背诵5首的人数占调查总数的16.二是确定出活动之初调查的总人数为20÷16=120（人），并正确的找出第60个数和第61个数来.

学生通过解答这样的问题，加深了对各种统计图、平均数、中位数等统计量的认识和理解，培养了学生利用所学知识解决实际问题的能力，在解决的过程中逐步发展学生的应用意识，提高和发展基本数学素养.

为促进学生在数学学习中能自然生长，教师应认真研读《课标（2011年版）》的基本理念，科学分析教材内容，根据前面论述的四个主要原则，精心设计教学情境，以此激发学生的学习兴趣，积极开展一系列的数学活动，使学生在参与各种数学活动的过程中，达到数学素养自然生长的目的.

参考文献

[1]义务教育数学课程标准（2011年版）[S].北京：北京师范大学出版社，2012.

[2]卜以楼.生长数学：数学教学的理性回归[J].中国数学教育，2017（9）.

[3]李树臣.数学教学设计应遵循的三个主要原则[J].中学数学杂志，2016（6）.

[4]李树臣.精心创设认知冲突，促进学生积极构建[J].山东教育，2016（3）.

[5]李树臣.突出数学思想主线，优化教材知识结构——青岛版《义务教育教科书·数学》（七—九）编写的原则之一[J].中学数学，2016（12）.

[6]李英.浅析数学教育中应培养的数学观念[J].数学通报，1988（1）.

作者简介 李树臣（1962—）男，山东沂南人，中学高级教师.临沂大学学业导师.临沂市科研型骨干教师，《山东教育》特约记者，山东省优秀教育科研先进个人，山东省创新教育优秀实验教师.有三项研究成果获山东省教学成果奖.两项成果获山东省教育科研成果二等奖.在省级以上刊物发表论文数百篇，其中被人民大学《初中数学教与学》全文轉载40余篇.青岛版《义务教育数学教科书》（初中）核心作者.