应用推广与关系梳理——平行四边形面积公式探索

□方巧娟

【课前思考】

在国内教材“多边形面积”单元中，“平行四边形的面积”被编排为单元教学的第一课时。研究团队所构建的单元面积公式推导序列，将“平行四边形的面积”安排在“三角形的面积”之后，学习路径发生了较大的变化。那么，这节课的调整在单元教学中有哪些优势呢？

一、丰富经验，分散学习难点

“平行四边形的面积”作为第一课时，转化时只需思考如何将平行四边形转化成长方形，学习经验单一，而教学难点却很集中。难点一，面积与周长概念混淆，学生用周长公式求面积；难点二，平行四边形形似长方形，学生容易混淆邻边与长宽的概念，会用邻边相乘求面积；难点三，平行四边形中的底和高没有显性呈现，概念需要提示；难点四，底高与长宽对应困难。

安排在“三角形的面积”学习之后，丰富了转化经验，开阔了转化思路，教学难点也得到分散。如面积概念已经清晰，底高概念无须再次提示，转化成长方形时不再出现错误。此时，平行四边形面积公式推导只需在转化方法上应用推广，学生自主探索空间被有效释放。

二、顺应学情，拓宽推导路径

在教材原编排序列中，“平行四边形的面积”只积累了剪拼转化经验，而到三角形转化为平行四边形时，学生很难自发从原有的剪拼法向倍拼法转变，若顺应学生经历先剪后拼，时间上又不允许。新构建的单元面积公式推导序列，先教学“直角三角形的面积”积累倍拼和剪拼的经验，在“一般三角形面积”中积累分割转化的经验，为平行四边形面积转化拓宽路径。路径一，通过剪拼法将平行四边形转化为长方形进行推导；路径二，将平行四边形分割为两个三角形进行推导。这样的学习路径不仅顺应了学生的学情，也发展了学生的求异思维和发散思维，还为后续学习梯形的面积和多边形的面积奠定了方法基础。

三、练习充裕，腾出教学时空

多边形面积公式推导序列调整后，“平行四边形的面积”一课的学习难度明显降低，学生会比较轻松地推导出平行四边形的面积公式。这样，教师就可以节省出更多的时间去展开关系梳理和针对练习等，也为后续的学习做好知识和方法上的准备。

【教学实践】

一、复习引入，揭示课题

1.回顾长方形和三角形的面积公式。

2.揭示课题：今天这节课我们要继续来研究“平行四边形的面积”（板书）。

二、自主转化，经历公式的推导

1.回顾面积概念，感知方法。

（1）请学生说说平行四边形的面积在哪里，要求平行四边形的面积，有什么办法？

（2）学生提出转化方法，转化成长方形或者两个三角形。

2.自主探究，初步探究平行四边形的面积公式。

（1）出示探究单（图1），请学生画一画、写一写，独立探索平行四边形的面积公式。

图1

（2）反馈两种转化方法。

师：说一说，你转化成了什么图形？怎么转化的？

生：我把平行四边形转化成了长方形，沿高剪下一个直角三角形，移拼变成了一个长方形。

师：沿高剪拼转化成功，还能沿着其他的高来剪吗？

生：可以沿着任意高进行剪拼。

学生作品补充，小结：也就是说我们只要沿着平行四边形的高将其剪成两部分，就能拼成一个长方形。

师：还有其他转化方法吗？

生：我把平行四边形转化成了两个三角形，只要斜着对折分割开就可以了。

3.沟通交流，完成面积的推导。

（1）沟通长方形面积与平行四边形面积，推导出平行四边形面积公式。

指名学生边投影边说理：平行四边形的面积相当于长方形的面积，长方形的面积等于长乘宽，长相当于平行四边形的底，宽相当于平行四边形的高，所以平行四边形的面积=底×高。

（2）沟通三角形面积与平行四边形面积，推导出平行四边形面积公式。

指名学生边投影边说理：平行四边形转化成两个面积相等的三角形，我们发现三角形的底就是平行四边形的底，三角形的高就是平行四边形的高，因为三角形面积等于“底×高÷2”，所以平行四边形的面积等于“底×高÷2×2”，也就是“底×高”。

4.加深理解，得出结论。

结合课件动态演示两种转化过程，并跟进小结：同学们看，虽然两种转化的方法不同，但转化后的面积都不变。通过沟通，我们发现“平行四边形的面积=底×高”，用字母表示是“S=a×h”。

三、巩固内化

1.计算下面的平行四边形面积。

2.选一选。

（1）下面平行四边形面积正确列式的是（ ）。

A.12×10 B.12×15 C.8×15 D.8×10

①指名学生选出正确答案，说一说，你是怎么想的？

②指出求平行四边形的面积时要用对应的底和高。

③想象平行四边形如何转化成对应的长方形，并动态呈现。

（2）下面的图形中，（ ）的面积最大。

A.第一个图形 B.第二个图形

C.第三个图形 D.三个图形一样大追问：为什么它们的面积都相等？

生：这两个平行四边形都能转化成底8 高5 的长方形。等底等高的平行四边形，面积相等。

讨论：都是四边形，为什么长方形的面积可以用邻边相乘，而平行四边形的面积却不能用邻边相乘？

生：长方形的四个角都是直角，所以长方形的边就是高，也就是说长方形的边和高重叠在一起了。

小结：因为长方形是特殊的平行四边形，长方形的宽就是它的高，所以长方形的面积可以邻边相乘，“长×宽”实际上就是“底×高”。

3.画一画。

你能画出和下面平行四边形面积一样的平行四边形吗？

反馈交流呈现学生的不同作品，并呈现学生的特殊平行四边形（图2）。

图2

讨论：特殊平行四边形，你喜欢怎样转化？它能转化成长方形吗？怎么转化？

四、课堂小结（略）

【教学反思】

实践表明，学生充分调用了三角形面积学习经验，有效达成了本课在面积公式推导序列中“推广应用，关系梳理”的目标定位。主要反映为以下三点。

一、达成自主转化，实现应用推广

本节课，学生思考的是如何将平行四边形转化成已知图形，所以会自主呈现剪拼转化成长方形和分割转化成三角形两种路径，规避了拉成长方形的这种错误转化。但从两种推导路径的选择来看，学生有一定差异。两个教学班80 名学生，平行四边形转化路径选择数据见表1。将平行四边形转化为长方形略多于将平行四边形转化成两个三角形。从转化前后图形之间联系和公式推导难度来看，两种路径各有优势。长方形，学生更为熟悉，面积计算方法也比较简单，但转化中长宽和底高的对应难度更大一些；三角形面积计算方法略显复杂，但转化中面积公式推导更为简单。不管学生选择哪一种方法，都是在自主思考下顺利完成的，实现了应用推广。

表1

二、特殊图形补充，突破难点认知

学生接触最多的是夹角为50°到70°之间的一般平行四边形，他们很难自主呈现特殊的平行四边形。为了让学生自主呈现特殊的平行四边形，教学中教师设计了在一组平行线中画一个和原平行四边形面积一样的平行四边形。通过动手画一画，学生发现只要等底等高，那么任何平行四边形的面积都是相等的，并呈现特殊的平行四边形。此时让学生再次进行面积推导回顾，既是巩固内化，又是难点突破。学生会呈现另一边剪拼或是三角形分割的方法，通过“你喜欢哪种推导方式”的追问，这一次数据（表2）出现了反转。

表2

显然，当学生在转化中遇见困难或复杂情形时，会选择更为简单的方法。对于特殊的平行四边形，沿高剪拼对学生的想象和操作有一定难度，而三角形分割方法的使用使得学生在任务操作上有了选择的余地，也为后续多边形面积求法中分割成任意个三角形做好铺垫。这凸显三角形作为面积教学基本图形的地位。

三、加强沟通联系，完成关系梳理

本课学习学生自主转化并不难，难的是沟通联系。教学中，转化图形与平行四边形的公式推导做了多次沟通和联系。比如，长方形的长宽与平行四边形的底高做沟通联系，两个三角形的面积和一个平行四边形的面积做沟通推导。同时，加强了平行四边形和长方形的面积公式关系沟通梳理，通过对“为什么长方形的面积可以用邻边相乘”的思辨，学生明晰了平行四边形面积公式的推导过程，感知图形之间一般与特殊的关系，真正内化和理解了面积公式推导的原理。