概率学习中的直觉规律与错误

□张伟华 郜舒竹

我国小学数学课程中，“概率”也叫作“可能性”。已有研究表明，学生在概率这一内容的学习过程中容易出现一些常见错误，其原因是这一内容会呈现出反直觉（Counter Intuitive）特征，这与学习者所习惯的直觉规律（Intuitive Rule）是相悖的。

一、什么是直觉规律

直觉规律是人们在看待问题时所遵循的，具有普遍性的直觉思维方式。通过研究学生的直觉规律，可以解释学生在数学学习中发生常见错误的原因。斯塔维和帝罗什等人在对学生直觉的研究中，提出了“越—越”（More-More）直觉规律。在比较两个事物时，会因为事物在A量上的不同（A1＞A2),导致在比较另一个B 量时，出现B1＞B2 的判断。[1]例如在图1 中，比较两条线段的长度时，直觉上会认为上面线段的长度更长，理由是上面线段的总长度看起来更长，所以这条线段也就更长。

图1 线段的比较

皮亚杰在对学生直觉的研究中也对学生做过类似的实验。如图2 所示，现在有上、下两排小圆圈，问哪排圆圈个数比较多？有学生发现两排圆圈排列长度不一样，就认为长度比较长的圆圈个数多，出现了“长度越长，个数越多”的误解。

图2 个数的比较

皮亚杰还发现，4 到9 岁的儿童在判断时间跨度问题时，会认为更快的事件用的时间更多。这表明，当两个动作产生不同的量时，孩子会认为产生更多量的事件用的时间越长。比如，有两辆不同速度的玩具车，儿童会认为跑得快的车用的时间多。误以为速度越大，花费的时间越多；或误以为距离越长，花费的时间越多。皮亚杰对此解释为：当比较两个持续时间时，孩子们常常只根据两个相关因素之一——速度或距离来进行判断，因为幼儿无法协调所涉及的各种变量，通常是根据其中一个变量来确定时间。[2]

类似的还有“同—同”（Same-Same）直觉规律。在比较两个事物时，会因为事物在A 量上相同（A1=A2），导致在比较另一个B 量时，出现B1=B2 的判断。[3]例如，斯塔维等人对学生做过这样一个测试：有两个杯子，其中，一个杯子有半杯水，另一个杯子有一杯水，在这两个杯子中都加入一勺糖，问哪个杯子里的水比较甜？有很多学生都认为两杯水一样甜，原因是学生觉得加入的糖是相同的，所以水的甜度也是相同的。实际上，水少的那杯会比较甜，学生没有考虑水的多少，只是认为糖一样多就一样甜。学生出现这种错误的原因就是遵循了“同—同”直觉规律，产生了“同样多的糖—同样甜”的误解。

斯塔维等人在研究中发现，当学生被问到两个事物中B1和B2的大小或性质时，很容易受到另一个A量的影响，做出错误的回答。例如在图3中，有一个长方形甲，将它的长扩大3 倍，宽缩短3 倍，变成长方形乙。当问学生如何判断甲、乙两个长方形的周长大小关系时，多数学生会认为长乘3，宽除以3，都是3倍的关系，所以相互抵消，从而出现甲、乙两个长方形周长相等的错误判断。[4]学生在解答这个问题时出现错误的原因也是遵循了“同—同”直觉规律，产生了“同样变化3 倍—同样周长”的误解。

图3 周长的判断

除此之外，还有“不同—不同”直觉规律。例如抛一枚硬币三次，出现一次正面向上的可能性和两次正面向上的可能性是否相同？有学生会认为不同。因为一次和两次不同，所以一次向上和两次向上的可能性也不同。实际上，这两种结果的可能性是相同的，学生可以通过分数乘法计算出结果，也可以通过分析正、反面向上的情况来得出结论。

二、直觉规律的特征

斯塔维和帝罗什在研究中发现，直觉规律具有“自信性（confidence）”“顽固性（perseverance）”“整体性（globality）”“强制性（coerciveness）”“可预见性（predictive power）”等特点。对于很多问题，学生只是根据事物的表面特征来判断，他们会对自己看到的事物深信不疑，这种自信往往会造成他们在判断问题时产生误解。[5]而且在一些问题中，即使学生知道了正确答案，还会坚持自己的想法。直觉规律的强制性体现于学生在日常的生活和学习中，会根据已有的生活、学习经验不断认可自己的直觉规律，面对新的学习任务时，习惯性地使用这种规律，就很容易出现错误。直觉规律的整体性是指学生对任务的认知方式，学生关注任务本身的整体特征，通过直接感知事物特征得出结论，而不是通过逻辑分析来进行判断。此外，直觉规律还具有很强的预测能力。教师在了解学生直觉规律的特点后，能够从学生的思维层面了解他们在数学学习中的误解，可以预见学生的判断。教师可以在学生产生类似的误解前，通过合适的教学方式来预防学生出现同样的错误，从而能够利用学生的误解来改善教学。

三、直觉规律与概率学习中误解的关系分析

在对学生的测试中，菲茨拜因发现，学生常常因为遵循直觉来判断问题导致出现误解。因此，他在研究中设计了很多有关概率内容的测试，目的是调查学生在概率问题中出现的直觉思维。比如在经典的摸球实验中，他给学生出示甲、乙两个盒子，其中，甲盒子中有1个白色弹球和3个黑色弹球，乙盒子中有2 个白色弹球和6 个黑色弹球，问学生哪个盒子更容易摸到黑球？调查发现大多数学生选择了乙盒子，因为乙盒子中有更多的黑球。学生会认为在黑色弹球更多的盒子中拿到黑球的机会更大，而没有考虑白球的影响。这说明对于小学生而言，绝对的“量”的多少对于偶然事件的概率是决定性的。学生出现这种思维符合直觉规律中的“越—越”规律，认为黑色弹球越多的盒子，从中摸到黑色弹球的可能性越大。

皮亚杰和伊勒海德对学生的概率理解做过全面的研究。儿童对概率的认识主要经历三个阶段。一是前运算阶段（7～8 岁之前），儿童不能区分因果事件和随机事件，他们认为没发生的事件更有可能发生。二是具体运算阶段（7、8岁～12岁左右），儿童能区分必然事件、可能事件和不可能事件，开始明白概率是有大小的，但还不能具体计算出来。对于不放回的实验，儿童经常忽略整体的变化，没有考虑到整体与个体的比例是变化的。最后是形式运算阶段（12 岁左右开始），儿童能将逻辑和随机概念统合起来，对一些复杂概率问题能做出判断，并能准确计算一些问题的可能性大小。[6]

皮亚杰和伊勒海德做过一个摸球实验：有两个一样的袋子，里面分别放着数目不等的黑球和白球，现要从中取出黑球，问选择哪个袋子更容易摸到。经过测试他们发现：处于具体运算阶段的儿童往往只是考虑颜色球的数量，而忽视了所有颜色球的总数。例如，大多数儿童只是考虑哪个袋子中的黑球比较多，而没有考虑到总的球数有多少，也就是没有考虑其他因素的影响。处于形式运算阶段的儿童能明白部分和整体的关系，这是理解概率知识的基础，他们能够计算一些简单随机事件的概率并用分数表示，例如他们能用分数表示出黑球占总球数的几分之几，再进行比较。

格林在对学生比较概率大小的研究中做过类似的摸球实验：从两个袋子中取出某一种颜色的球，问选择哪个袋子更有利。通过改变两袋中不同颜色球的比例，来了解学生的想法。通过实验，他总结了学生常见的几种选择策略：一是选择小球总数多的那个袋子；二是选择目标颜色球数量多的袋子；三是选择不同颜色球数量差大的袋子；四是选择不同颜色球数量之比大的袋子。[7]这四种策略体现了学生四种不同的想法，而且都可以用直觉规律中的“越—越”规律来解释。

以色列学者斯塔维、帝罗什等人重点研究了学生在数学问题中遵循的直觉规律。为了了解学生在概率中的错误原因，他们同样设计了摸球实验，经过调查发现大多数学生选择了目标颜色球更多的箱子。对此，他们的解释为学生遵循了“越—越”直觉规律，误以为黑球越多摸到的可能性越大。[8]在此实验的基础上，斯塔维、帝罗什和鲁文（Reuven Babai）又设计了两组摸球实验。其中一组实验与上述的摸球实验类似，在黑球多的盒子中摸到黑球的可能性并不高，学生同样容易出现“越—越”直觉的错误；另一组实验与之相反，在黑球多的盒子中摸到黑球的可能性大。这个对比实验的目的是既解释了学生容易出现的直觉规律误解，还研究了反应的准确性与反应时间的关系。当直觉规律与实验结果相符时，学生的反应准确率高，反应时间更短。[9]

英国学者彼得·布莱恩特和努涅斯在“儿童对概率的理解”文章中针对15 岁的学生设计了类似的摸球实验，目的是研究高年级学生对概率的理解。结果发现多数15 岁的学生都做出了错误的选择。研究者认为孩子出现错误是因为忽略了白球与黑球比例的关系，如果能考虑到比例的问题，就会更好地理解概率。[10]由此可见，摸球问题不仅在低年级学生中容易出现错误，在较高年级的学生中也会出现错误。这说明，学生在概率问题中容易忽视比例的影响，依据直觉选择了目标球数量多的袋子，从而出现了符合“越—越”直觉规律思维的错误。

学生在概率问题中除了出现上述的直觉规律外，“等可能性”偏见也是概率中的主要错误之一。等可能性在掷骰子、抛硬币等游戏中很常见，表示一次试验中每一种结果发生的可能性都相等，儿童就会自然地认为类似的随机事件可能性都是相等的。勒库特等人在研究中设计了一个掷骰子问题：同时抛两颗标准的骰子，出现一个5 和一个6 的可能性大，还是出现两个6 的可能性大？他们发现，多数学生认为两种结果的可能性一样大。有些学生给出的理由是：假设一颗骰子已经掷出了6，那么另一颗骰子出现5 和6 的机会是一样大的，所以掷出一个5一个6和两个6的可能性相同。有些学生直接认为掷一颗骰子出现5 和6 的可能性一样，都是六分之一，在两颗一样的骰子中出现5 和6 的机会都是一样的。还有些学生认为这类随机事件的可能性是相等的，出现哪种结果完全靠运气。[11]这几种学生所出现的思维都符合“同—同”直觉规律，即点数5和6的可能性相同—出现一个5一个6和两个6的可能性相同，或同样是随机事件—发生的可能性是相同的。

关于学生错误理解概率的研究中，克诺德发现：有些学生会将可能性很大看作必然发生，可能性很小看作必然不发生，50%可能性看作不知道或不能确定。他将这种错误现象定义为“预言结果法”。[12]这种错误的特点是，学生将概率看作一种预测，在每次试验结束后会判断说某一概率是对了还是错了。比如，某些学生会认为80%的机会下雨的意思就是将要下雨。出现“预言结果法”错误理解的学生会因为日常生活中出现的现象是确定的，比如某一天能确定到底下没下雨，如果下雨，那么下雨的可能性就很大；如果没下雨，下雨的可能性就很小，而把已经确定的现象和概率联系在一起，但如果把这种“经验”用到还没发生的事情上，也就必然会出现对问题的误解。

除了“越—越”直觉规律，学生是否会出现其他的直觉规律呢？如图4 所示，在一个摸球游戏中，一个箱子中有两个白球、三个黑球，现在向箱子中再放入两个白球和两个黑球，问：现在从箱子中摸到黑球的可能性相对之前怎么变化？

图4 摸球游戏

通过对学生直觉规律的研究，可以做出这样的推测：学生可能会认为可能性不变，因为放入的白球个数和黑球个数相同，根据“同—同”直觉规律，放入同样多的球，摸球的可能性不变。可能还有部分学生认为摸到黑球的可能性变大，因为黑球的数量增加了，根据“越—越”直觉规律，黑球越多，摸到黑球的可能性越大。