经验激活与方法提炼——直角三角形面积公式探索

□宋煜阳 邬盼盼

【课前思考】

国内教材把“平行四边形的面积”作为“多边形面积”这一单元的起始课，转化方法只涉及剪拼法，不能帮助学生积累倍拼法的活动经验，在后续“三角形的面积”学习中出现经验断层。将“直角三角形的面积”作为单元面积公式序列的起始课，主要基于直角三角形的特殊性，能激活学生将直角三角形转化为长方形的自发经验，同时提炼出剪拼法（沿着与直角边平行的中位线剪拼为长方形）和倍拼法（用两个全等的直角三角形合拼为长方形），帮助学生积累必要的学习多边形面积的活动经验。

【教学实践】

一、明确任务，尝试自主探究

呈现图1，给出信息：每个小正方形的边长表示1 厘米，这个直角三角形的面积是（ ）平方厘米。

图1

图2

师：你用哪些方法得到直角三角形面积？把你的想法画一画、写一写、算一算。完成一种后思考第二种。

学生在练习纸上独立探索，教师巡视、选择学生典型作品。

二、反馈交流，奠定转化意识

呈现数格子作品，学生介绍方法：先数整格的有6格，再数半格的有4个，合起来是8平方厘米。

呈现图2，互动解读方法。

生：这个方法是在旁边补上一个一样的直角三角形，让它变成正方形，正方形的面积是4×4=16平方厘米，直角三角形的面积就是把正方形面积除以2，是8平方厘米。

师追问：正方形是特殊的长方形，为了方便发现规律，我们把它称为长方形，你是怎么想到把直角三角形变成长方形的？

生：因为长方形的面积计算我们以前已学过了。

师：把未学的新知转化成原来学过的旧知，这种方法称为转化，数学学习上经常要用到。长方形的面积怎么计算？长、宽分别是直角三角形的哪一部分呢？根据长方形的面积公式，你认为直角三角形的面积计算公式是怎样的呢？

生：底×高÷2。

师：你们是怎么想的？为什么要除以2？

生：因为长方形的长相当于直角三角形的底，宽相当于它的高，面积是它的2 倍，所以还要除以2。

师：你们不但会算，还通过长方形和直角三角形之间的联系推导出直角三角形的面积计算公式。

图3

图4

师（呈现图3）：这幅作品，你能看懂吗？

生：这种方法是从直角三角形高一半的地方剪下一个小三角形拼成长方形，这个长方形的长是4厘米、宽是2厘米，所以面积是8平方厘米。

请学生现场实物演示剪拼方法。

师：看懂了吗？我们回到图中再来看一看，这个长方形面积是怎么计算的？长、宽又分别是直角三角形的哪一部分？

生：长方形的长就是直角三角形的底，它的宽是直角三角形高的一半，所以直角三角形的面积是“底×（高÷2）”。

师：为什么要除以2？

生：因为高的一半相当于长方形的宽。

师（呈现图4）：这幅作品也剪拼成了一个长方形，你能看懂吗？

生：从直角三角形底一半的地方剪下一个小三角形，再拼成一个长方形。

师：这个长方形的长、宽分别是直角三角形的哪一部分？

生：长方形的长就是直角三角形的高，它的宽是直角三角形底的一半，所以直角三角形的面积是“底÷2×高”。

师：这里的除以2表示什么意思？

生：直角三角形底的一半相当于长方形的宽。

三、归类比较，提炼转化方法

师：这三种方法都把直角三角形转化为长方形，根据它们变化的特点，你能把这三种方法分分类吗？

生：第一种方法把直角三角形的面积变成了原来的2倍，分为一类；而第二、三种方法只是改变了它的形状，面积却没有变，可以归为一类。

师：你说出了这三种方法之间的本质区别。是的，我们把第一种方法称为倍拼法，而第二、三种方法称为剪拼法。

四、尝试应用，梳理推导方法

师：这里还有一个直角三角形（呈现图5），它也能用剪拼法、倍拼法转化为长方形吗？请在学习单上画一画、写一写转化的过程。

（1）学生独立完成，教师巡视。

图5

（2）交流反馈。

师：说一说，你用了什么方法来计算这个直角三角形的面积。

生1（结合作品图6介绍）：我用的是倍拼法，补了个同样的直角三角形拼成长方形，它的底就是长方形的长，高就是长方形的宽，面积是长方形的一半，所以6×2÷2=6平方厘米。

生2（结合作品图7介绍）：我用的是剪拼法，沿着直角三角形的高剪下一个小三角形，拼成长方形，它的底就是长方形的长，高的一半就是长方形的宽，所以面积是6×（2÷2）=6平方厘米。

生3（结合作品图8介绍）：我用的也是剪拼法，我是沿着直角三角形的底剪的，底的一半就是长方形的长，高就是长方形的宽，所以面积是6÷2×2=6平方厘米。

图6

图7

图8

师：刚才同学们推导出的直角三角形的面积计算方法有“底×高÷2”“底×（高÷2）”“底÷2×高”，这里都有除以2，意思一样吗？

生：不一样。第一个除以2表示长方形面积的一半，第二个表示高的一半，第三个表示底的一半。

师：是的。采用倍拼法转化为长方形，面积是直角三角形面积的2 倍；采用剪拼法转化为长方形，面积是不变的。三种计算方法虽然运算顺序不同，但结果相同。

五、推广应用，提炼形成公式

师：只凭两个直角三角形，能得出“底×高÷2”这个计算公式吗？还需要研究其他直角三角形吗？

学生有的认为要，有的认为不要，意见不一。

师（呈现图9）：想一想，这两个直角三角形也能用“底×高÷2”这个面积公式来计算吗？你是怎么想的？

生：可以的。我用倍拼法，把它们变成长方形，这个长方形的长一定就是直角三角形的底，它的宽就是高，再除以2就是直角三角形的面积，所以也是可以用这个公式的。

生：我觉得不需要再验证其他直角三角形了，因为所有直角三角形肯定都可以通过倍拼变成长方形，或者通过剪拼变成长方形，都可以推导出底×高÷2这个面积公式。

学生纷纷表示同意。

六、理解运用，巩固面积公式

学习单提供图10，要求列式计算直角三角形面积，并画一画转化后的长方形。

结合学生作品进行反馈交流，请学生想一想如果算式是“8÷2×6”，是怎样剪拼的？如果算式是“8×（6÷2）”，又是怎样剪拼的？

图9

图10

（学生反馈略）

【教学反思】

通过教学实践发现，将“直角三角形的面积”作为单元面积公式推导序列的起始课，有效增进了学生的自主探索空间，激活了学生多元的转化经验，为后续学习积累了丰富的转化经验，是一次成功的尝试。

首先，直角三角形的特殊结构，能充分调动学生转化的自发经验。这一教学设计我们分别在城区、乡镇学校进行了实施，发现能想到倍拼法和剪拼法的学生达到了50%左右。说明将带有格子图的直角三角形作为学习材料，能有效调动学生的自发经验，教师再根据学生的经验顺势提炼总结方法，为正确掌握倍拼法和剪拼法打下了良好的基础，充分证实了多边形面积学习从学生经验最为丰厚的直角三角形介入的正确性。

其次，将“直角三角形的面积”作为起始课，有助于学生对公式含义的理解。教学中依据不同的转化方法出现了“底×高÷2”“底×（高÷2）”“底÷2×高”三种不同的表达方式，学生在结合图式沟通意义的过程中，对“÷2”所表达的不同含义有了深入的理解，促进了对面积公式意义的建构。

最后，直角三角形的推理经验，有利于学生建立从特殊到一般的序列经验，体现推理的严密性。在推导直角三角形面积公式的过程中，从几个特定的直角三角形到每个直角三角形，都可以通过倍拼、剪拼转化为对应的长方形，得出面积都可以用底乘高除以2 来计算的结论，从不完全归纳推理得出公式到更一般层面的推理说明，确认公式具有一般性，可以帮助学生建立面积公式推导的序列经验，为后续学习一般三角形的面积奠定基础。

同时，由于直角三角形的特殊性，无论是锐角三角形还是钝角三角形，都可以通过作高分割为两个直角三角形，直角三角形的面积公式成为一般三角形的面积公式探究的重要基础。实践表明，将“直角三角形的面积”作为“多边形的面积”单元的种子课是合理可行的。