化归思想在高中数学教学中的有效应用

蔡志权

摘 要：化归思想作为有效解决数学问题的基本思想，体现在高中数学的各分支。在阐述化归思想概念基础上，以实例介绍化归思想在高中数学中的具体体现，以期为类似研究提供一定的参考。

关键词：化归思想；高中数学教学；应用

高中与初中数学学习有所差异，初中数学教学重视教授方法，而高中数学教学重视培养学生的数学思维。而高中数学其难度较大，综合知识多，缺少逻辑思维及数学思想的学生会在学习中感觉无从下手。培养学生解题思维能力是高中数学教学的重要目标，数学解题中很多复杂问题都可以用化归思想转化成容易的问题。化归思想是高中数学中的重要思想，正确深入理解化归思想的内涵及其常用方法，探索化归思想方法的教学策略，是高中化归思想教学方法中亟待解决的问题。

一、概述化归思想

化归思想就是化未知为已知，化繁为简，化难为易。如将分式方程化为整式方程，将代数问题化为几何问题，将四边形问题转化为三角形问题等[1]。高中阶段常见的化归类型包括数量特征转化，位置关系转化，其中，数量特征转化就是将未知量转化为已知量，用消元法将多元化为一元等。数学特征的转化主要有运算间的转化，代数形式与几何形式的转化等。位置关系转化主要体现在图形中。化归一般原则包括简单化，和谐统一性，具体化等，常用的化归策略有已知与未知的转化，正面与反面的转化，数与形的转化，一般与特殊的转化等[2]。

二、高中数学教学中化归思想的应用

解决数学问题本质就是对问题的转化，高中教材中有大量的问题都体现了化归思想方法。函数是高中代数中贯穿始终的主线，高中代数中运用化归思想的例子非常多，常见的基本化归形式有数与形的转化，数与数的转化，形与形的转化。在解决实际问题中转化形式并非单独使用，结合使用更能简捷解决问题。

如：不等式恒成立问题，是将恒成立不等式转化为函数值恒在某一范围内，结合函数图象解决，包括数量特征与数学形式特征转化的方程函数不等式转化[2]。

例1：已知函数f（x）= lnx，如果对任意x∈（0，1），恒有f（x）<-2，求出实数a取值范围。

解：根据题意可知，a≠0，因当x∈（0，1）条件下， lnx<0，所以a<0，并不符合题意要求。当时a>0，将不等式f（x）<-2化归为： +lnx<0

假设g（x）= +lnx

则有g '（x）=

设h（x）=x2+（2-4a）x+1

Δ=（2-4a）2-4=16a（a-1）

若有a∈（0，1]，则Δ≤0，h（x）≥0，g ' （x）≥0，

所以，g（x）处于（0，1）上单调递增，

又因g（1）=0，所以，g（x）

即：0

不得不说，高中平面三角形基本知识包括三角函数，和解三角形恒等变换。以正弦定理与余弦定理为基础，通过边角关系转换解三角形，三角函数可通过转化为单位圆与三角函数线表示。 如：三角函数中利用诱导公式可将无法运算不同角三角函数化为同角，利用同角三角函数基本关系切化弦。

诱导公式学习中，离不开化归思想方法。三角函数的诱导公式有九组，所有诱导公式可概括为K·π/2±α（k∈Z）的各三角函数值。K为奇数，得α余名三角函数值，为偶数得α同名三角函数值。在前面加将α锐角原函数值符号。即口诀：奇便偶不变，符号看象限。

三角恒等变换中和，差，倍，余弦，正切基本公式有12个。公式繁杂，难以记忆。可用向量法推导两角差余弦公式C（α-β）。比较C（α±β），将α+β写作α-（-β）形式，可利用C（α-β）推导，根据同角三角函数关系推导两角正切公式T（α-β）与T（α+β）

高中涉及的初等微积分主要包括导数与定积分，将未知问题已知化，是化归思想的体现。利用导数函数值在区间正负判断原函数单调性。解题作为高中数学教学的重要内容，数据能力主要展现在提出问题、分析及解决问题方面。在日常教学过程中，教师不可过于强调套路、题型等机械性训练，也要重视培养学生的发散思维和创新能力。只有如此，方可有效提升学生的应变能力。化归思想就是要教会学生如何在解题中实现转化，化繁杂的问题为简单，有效降低题目思维量及难度。

例2：已知f（x）=ax3- x2+1（x∈R）其中，a>0，如果在区间- ， 上，f（x）>0恒成立，求出a取值范圍。

解：通过问题等价处理，ax3> x2-1处在区间- ， 上恒成立。假设m（x）=ax2，n（x）= x2-1，其图象见图1.当m（x）=ax3这个函数过点时A- ，- 时，a=5，使得m（x）>n（x）在区间- ， 内恒成立，可以满足条件的为0

数学思想方法隐含在知识内容中，学生要自觉灵活运用要经历很长的过程。渗透是数学思想方法教学中的常用方式，教师在教学中向学生反复讲解数学方法，使学生逐渐掌握。教材中数学基础知识阐述中蕴含丰富的化归思想，要对教材进行挖掘，引导学生用已有知识同化新知识，更好的理解掌握新知识。如函数单调性中，教材给出函数图象，逐步由形到数，引导学生发现函数图象变化时函数值变化规律。

总之，化归思想作为高中数学中重要的思想，教师在教学中要激发学生的学习兴趣，将化归思想用于高中数学中，能帮助教师更加明确教学方向，提高学生的数学素养与独立思考解决问题能力。本文以化归思想为研究视角，探析其在高中数学教学中的应用。

参考文献：

[1]许静.化归思想在高中数学教学中的应用[J].西部素质教育，2015，1（18）：97.

[2]夏荣传.浅谈化归思想在高中数学教学中的渗透[J].考试周刊，2017（68）：116.

编辑 高 琼