高中数学概念教学中教与学的处理

戴慧丽 陈岳鹏

摘 要：课堂是教学的主要阵地，新课的教学尤为重要，课堂上学生只有自然地接受知识，能力才能得到提升，所以课堂中教与学的处理很重要。以“直线与圆的位置关系”这堂课为例，精心设计，通过基础过关、知识拓展、课后巩固以等环节的把握，探索新课教学中如何进行教与学的处理，同时也反思课堂教学中学生与教师应该扮演的角色。

关键词：课堂设计；教学处理；反思

随着教学年限的增长，对于一节好课的理解在慢慢地发生变化，一开始觉得要把一节课设计得很充分，面面俱到，滴水不漏，再后面想着要突出重点、突破难点，课堂上师生良好互动，但慢慢地对课堂教学的反思，想着课堂上不能只传授自己想教的知识，而应该传授的是学生需要的内容。数学课堂上应关注哪些因素，怎样提高课堂效率，形成有效教学，通过对“直线与圆的位置关系”的课堂教学，对概念课的设计多了一些新的理解。

一、基本情况

（一）学情分析

学生来自于普通高中高一实验班，他们中大多数学生的数学学习能力处于听得懂但不会做，能跟着走但自己不会自行思考的水平，他们有一定的模仿能力，但创新意识不强，运算能力一般，碰到较难的运算和思维过程，容易有畏难心理，比较容易放弃。

（二）教材分析

直线和圆这两个概念在初中数学中都已经有所接触，特别是圆的定义和基本性质学生已经有了大致的了解，在本节课的学习中所需要的垂径定理、直线与圆的三种位置关系都有所了解，但相应地运用哪些数量之间的关系来具体刻画，以及每一种位置关系如何刻画，都存在不小的困难，由具体的图象怎样转化成抽象的运算也是学生学习的难点，是本节课处理的一个关键，因此制订出本节课的教学目标、重难点如下：

教学目标：（1）学生能判断直线和圆的三种位置关系。

（2）学生会利用两种方法判断直线与圆的位置关系。

（3）通過探究学习，渗透分类讨论、数形结合的思想。

教学重点：直线和圆的位置关系的判定方法。

教学难点：直线和圆的位置关系的运用。

二、教学设计

（一）内容提要

直l：Ax+by+C=0，圆C：（x-a）2+（y-b）2=r2

（二）基础过关

例题1.已知直线l与圆C：x2+y2=4相切，且分别通过下列各点，求直线l的方程。

（1）A（0，4） （2）B（2，3） （3）C（1， ）

课堂小结：过一点求圆的切线方程需要注意这个点是否在圆上。

（三）拓展提高

例题2.设直线l：3x+4y+8=0和圆C：x2+2x+y2-24=0相交于

A、B两点。（1）求弦AB的长；（2）求弦AB的垂直平分线的方程。

例题3.过点（4，0）的直线l与圆C：（x-4）2+（y+2）2=4相交，并且将圆C分割成弧长之比为1∶2的两段，求直线l的方程。

（四）课外巩固

1.已知直线 x-y+m=0与圆x2+y2-2x-2=0相切，则实数

m=__________。

A.± B.- 或3

C.-3 或 D.±3

2.已知直线l：x+2y-1=0与圆C：（x-1）2+（y-1）2=1，则圆C上的点到直线l的最大距离为______，最小距离为_______。圆C上的点到直线l的距离为 的点有______个。

3.若方程 =x+b有解，求b的取值范围。

三、课堂回顾

（一）基础过关

1.导入低起点、多样性

在基础过关中，用了三个看上去几乎一样的题目，由简单到复杂层层深入。当拿到第（1）小题时，学生会习惯用点斜式假设直线方程，但在求解过程中会有部分学生联立直线与圆的方程，求？驻来解决：

设直线方程为y=kx+4

联立方程：y=kx+4x2+y2=4 得：（1+k2）x2+8kx+12=0

∵直线与圆相切 ∴？驻=0

即（8k）2-4（1+k2）×12=0

得k=± ∴直线方程为y=± x+4

也有一部分学生通过求解圆心到直线的距离d，结合题目条件d=r进行运算：

设直线方程为y=kx+4

圆心（0，0）到直线kx-y+4=0的距离d=

∵直线与圆相切

∴d=r即 =2得k=± ∴直线方程为y=± x+4

对比两种解答方法，使学生体会到运用d-r法（数形结合）的优越性，并强化此方法的运用。另外本题在设计的时候，考虑到学生的计算能力，不再数字计算上设置障碍，题目一出现的时候，学生会有熟悉感，上手快，计算简单。题目设置的目的是为了激趣、启智，增强学生的自信心，任务的完成会让学生松了一口气，也为后面题目的设置形成一定的铺垫。

2.题目设置循序渐进

在第（1）小题完成之后，学生很容易依葫芦画瓢地运算第（2）小题。

设直线方程为y-3=k（x-2）即kx-y-2k+3=0

圆心（0，0）到直线的距离d=

∵直线与圆相切

∴d=r即 =2得k=

得到答案只有一个，而大部分学生认为过程就此完结，这时教师就要提问，最后答案是否正确，过程中可有不妥之处。在这个过程中根据具体情况引导学生使用数形结合思想，让学生先判断出切线的总数，再让学生发现遗漏的切线是怎样的，为什么会遗漏，切线斜率不存在的判断，同时教师可根据具体情况展示优秀学生的作业或自我示范解题过程。

数学课堂教学中，学生的主体地位是毋庸置疑的，但教师的主导作用也是非常重要的，教师的引导可以调动学生的疑问、思考和自主讨论，最后促进新旧知识间的相互作用，使整个思维连贯、完善。

3.最后出奇制胜，使学生豁然开朗

在第（2）小题的基础上再加上第（3）小题，学生会经历期待─困惑─迷茫─恍然大悟的过程，通过3道小题过山车般的体验，让学生自己总结求切线方程的步骤和需注意的问题。虽然提醒简单，但存在一定的思维量，这样远比一开始就给定一个规范的解题过程要好，学生的体会会深刻得多，这样也才能使这些知识成为学生自己的东西。

在第（3）小题之后，我们再给学生留有时间，规范书写格式。这个环节的设置是让学生体会用d-r法解决直线与圆的位置关系的优越性和注意事项，同时在课堂进行中慢慢抓住学生的注意力，在无形中绷紧上课的神经。

（二）拓展提高

1.平行应用，强化注意事项

通过基础过关的训练，学生对直线与圆的位置关系中d-r法的必要性和优越性有了深刻的体会，再通过直线与圆相交的问题的探究进一步深化d-r法的应用范围。第（1）题的弦长问题应该是能简单解决的，但第（2）题中求弦的垂直平分线是，学生仍会处于迷茫无助的状态，此时再引导强化数形结合思想的运用，与基础过关相呼应。

2.变形、深挖主题

直线与圆的位置关系的考查题型千变万化，怎样让学生通过对图象的观察理解题目的本质，是这节课的重点也是难点，当学生碰到弧长比值这个陌生概念时，引导学生用通法，即观察图象─判断直线与圆的位置关系─应用d-r法─求解直线方程。

（三）课外练习巩固新知

本节课是对直线与圆三种位置关系的判定及研究，能应用相应的位置关系对应d与r之间的关系，求解直线方程中的各种问题，同时得出求解过程的几个基本步骤与注意事项。课外巩固的题型设计围绕本节课的主题，难度依次上升，最终强化数形结合思想与解决此类问题的通法。

（四）结课留有余味

本节课内容多，考虑到学生直线与圆的问题的实用性与深刻性，课堂上题型设置基本上为求解直线方程，这样能集中学生的注意力，提高课堂效率，为后续题型变换中的本质把握打好坚实的基础。本节课对学生数学素养的要求体现在：观察问题时，抓住特例，做一般推论；认识问题时，挖掘题目内涵，揭示关键本质。

四、教学反思

（一）课堂的导入要从学生的学习困难处入手

一种解题思路的形成，要先让学生认识到问题的障碍、问题的本质属性，需要教师在教学设计时创设恰当的情境，引起学生的兴趣，让学生的思维产生火花，最后才能运用已有知识解决未知问题，达到知识运用融会贯通的功效。本节课从基础过关到探索拓展，一步步形成问题链条，从一般到特殊再回归一般，步步设置小障碍，步步深入，在旧问题中形成新问题，教师适时提问，诱导过程自然真实，学生在不知不觉中完成了螺旋式上升。

（二）要引导学生自主思考，主动参与学习

新课程改革中重视以学生的“学”来评价教师的“教”，强调以学生在课堂教学中呈现的状态为参照来评价课堂教学质量。学生是否有浓厚的学习兴趣，对学习具有好奇心和求知欲；是否始终关注讨论的问题，并保持较长时间的注意力；学生是否积极主动地投入思考，并兴致勃勃地参与讨论和发言；遇到困难时能否主动地与他人交流、合作，共同解决问题，在学生学习方式的变革中强调自主学习、探究学习与合作学习。本节课的教学设计充分考虑到学生学习的兴趣点，学生现有的学习水平与潜在的能力之间的最近发展区，让学生能够在对比后受到启示，在启示之后能够模仿，在模仿后逐步完善，在完善中适当小结，之后再加以应用，流程过渡自然，效果水到渠成。

（三）把握好课堂教学中教师与学生的地位，充分尊重学生

课堂教学中要以学生的学为主体，教师起主导作用。我们要在课堂上舍得放手让学生做，在巡堂过程中不断发现学生的闪光点与不足。让学生自己做、自己讲，在学生有困惑的时候适当地提问和引导。把时间还给学生，对学生来说通过自己的努力得来的知识远比老师强加给他们效果来得好，久而久之，既能培养学生自学的能力，课堂效率也会相应地提高。另外在学生思考发言等过程中不轻易打断，但在学生自主学习与探究过程中，教师要始终处于主导地位，放得出去也要能收得回来，能把控好分寸，为学生的理解、体验、反思探究与创造提供条件。

（四）处理好学与讲的关系，注重时效

本节课采用分层做、分步理解，学生自己做、自己讲，教师在必要的时候提问、补充。本节课在问题设置时充分关注学生的现有水平，围绕教学内容的重难点，排除一些干扰因素，凸显出本节课的主题与关键，计算难度不高，虽然有些变化，但深究之后本质是一样的，在思维的关键出设置难点，让学生可以通过自己的努力，拨开乌云见月明。

（五）多媒体手段的应用

多媒体手段的应用应该服务于教学，一个优美的课件可以让学生赏心悦目，通过几何画板的演示让学生能够直观发现问题，但是不能过度。

参考文献：

[1]鄭强.走进高中数学教学现场[M].首都师范大学出版社，2008.

[2]王千秋.高中数学课堂模式设计[J].高中数学教与学，2011（8）.

编辑 鲁翠红