四法解决点电荷形成电场中带电粒子速度比较

宁夏 汪路斌

四种方法巧妙解决点电荷形成电场中带电粒子运动问题。

根据电场线或等势面判断带电粒子轨迹上的两点速度大小关系是常见的题型，也是高考很青睐的题型，2017年天津卷7、2016年全国卷Ⅱ15、2016年海南卷10、2015年安徽卷14、2012年福建卷15、2012年山东卷19、2005年重庆卷19对该问题有直接的考查。该问题的难点在于点电荷的电性未知，粒子的运动方向未知时要分类讨论。笔者用四种方法对该问题进行分析归纳总结，使得该问题的解决更加的简洁，学生对该问题的认识更加透彻，知识之间的关联更清楚。

如图1，一点电荷固定于O点，两虚线圆均以O为圆心，两实线分别为带电粒子M和N先后在电场中运动的轨迹，a、b、c、d、e为轨迹和虚线圆的交点，不计重力。下列说法正确的是

( )

图1

A.M带负电荷，N带正电荷

B.M在b点的动能小于它在a点的动能

C.N在d点的电势能等于它在e点的电势能

D.N在从c点运动到d点的过程中克服电场力做功

该题目就是此类题目最复杂的情况，场源电荷的电性未知，带电粒子的运动方向未知，终极问题就是判断各点的速度，因为知道速度关系就知道了动能关系，只在电场力做功情况下，动能与电势能之和不变，因此就可以判断各点带电粒子在各点电势能的关系，电势能的减少量对应电场力做功的多少，这一系列的问题就可以解决，所以判定粒子在各点速度的关系是核心问题。

一、利用等势面判断

1.1 若场源电荷是正的点电荷

带电粒子运动轨迹如图2所示，通过轨迹判断出场源与带电粒子是排斥的关系，所以带电粒子带正电。假设带电粒子从a点运动到b点，电场线从电势高的等势面指向电势低的等势面，则φa>φb，由于移动的是正电荷，则Epa>Epb，只有动能和电势能相互转化，则Ekaφb，由于移动的是正电荷，则Epa>Epb，只有动能和电势能相互转化，则Eka

图2

不管带电粒子从a运动到b，还是从b运动到a，a、b两点速度的关系是确定的，也就是与运动方向无关。这个结论的实质是：电场确定后a、b两点的电势差是确定的，带电粒子电荷量电性一定，电势能的关系就是确定的，动能的关系就是确定的，速度的关系自然也就是确定的。以后的判断就不用再分类讨论方向的问题。

1.2 若场源电荷是负的点电荷

带电粒子运动轨迹如图3所示，通过轨迹判断出场源与带电粒子是排斥的关系，所以带电粒子带负电，从1.1的判断可知，不必再讨论粒子的运动方向是从a到b，还是从b到a，对于两点速度的判定结果是一样的，因此只选一个方向判定即可。假设带电粒子从b点运动到a点，电场线从电势高的等势面指向电势低的等势面，则φa<φb，由于移动的是负电荷，则Epa>Epb，只有动能和电势能相互转化，则Eka

图3

二、利用电势能直接判断

通过对1.1、1.2的分析结果可知，对于场源电荷与带电粒子带同种电荷的情况，带电粒子离场源电荷越近，带电粒子在该位置的电势能越大。a点离场源电荷较b点近，则带电粒子在a点的电势能大于在b点的电势能。

图4

下面分析场源电荷与带电粒子带异种电荷的情况，如图4。从轨迹可知带电粒子所带电荷电性与场源电荷相反。b点电势小于a点电势，由于是负电荷，电荷在b点电势能大于在a点电势能。若场源电荷是负电荷，同理可得电荷在b点电势能大于在a点电势能。总结得到：对于场源电荷与带电粒子带异种电荷的情况，带电粒子离场源电荷越远，带电粒子在该位置的电势能越大。

综上所述，知道带电粒子电荷与场源电荷的电性关系，直接利用电荷的位置就可以判断电势能，再接着判断动能，进而判断速度。

三、通过电场力做功判断

图5

取a、b间的任意一点，假设粒子从a到b运动，作出电场力F、速度v，如图5所示，电场力F、速度v成锐角，电场力做正功，由于仅受电场力，由动能定理得，动能增大，a点速度小于b点速度。

取a、b间的任意一点，假设粒子从b到a，作出电场力F、速度v，如图6所示，电场力F、速度v成锐角，电场力做正功，由于仅受电场力，由动能定理得，动能增大，a点速度大于b点速度。

图6

四、模型法判断

4.1 碰撞模型(散射模型)

图2所示的情形，就是带电粒子与场源电荷碰撞的过程，从b到a的过程中速度减小。

4.2 日-地模型

图4所示的情形可以看作是带电粒子绕场源电荷做椭圆运动的一部分，类似于地球绕太阳做椭圆运动。离中心物体距离越近，速度越大。

结束语