线框在磁场中平动模型的九种情景剖析

河南 王春旺

线框平动，四情九景。

线框在匀强磁场中平动是高考命题热点，2018年全国卷Ⅱ第18题，天津卷第12题，浙江4月卷第3题，2017年全国卷Ⅱ第20题，都是以线框在匀强磁场中平动作为情景命题。通过对近年高考题和各地模拟题研究，可归纳为闭合线框平动进入磁场四种情形的九种情景。

一、线框在水平面进入磁场情形

情景解读线框以一定的初速度在光滑的水平面上进入匀强磁场区域线框在拉力作用下在光滑的水平面上进入匀强磁场区域示意图运动分析线框若以一定的初速度进入磁场区域后,右侧边切割磁感线产生感应电动势和感应电流,线框受到安培力作用,做变减速运动;完全进入磁场区域,不产生感应电流,做匀速运动;右侧边出磁场区域,左侧边切割磁感线产生感应电动势和感应电流,线框受到安培力作用,做减速运动线框若在拉力作用下在光滑的水平面上进入匀强磁场区域,若拉力大于线框所受的安培力,则做变加速运动;若拉力等于线框所受的安培力,则做匀速运动;若拉力小于线框所受的安培力,则做变减速运动速度图象 能量转化分析进入磁场过程,线框动能转化为电能,又转化为焦耳热;完全进入磁场区域后动能不变;出磁场过程,线框动能转化为电能,又转化为焦耳热若拉力大于安培力,拉力做功,产生电能和机械能,电能又转化为焦耳热;若拉力等于安培力,拉力做功,产生电能,电能又转化为焦耳热;若拉力小于安培力,拉力做功,产生电能,减小的动能转化为电能,电能又转化为焦耳热解题思维模型线框以某一速度进入磁场情形,利用法拉第电磁感应定律和闭合电路欧姆定律、安培力及其相关知识解答受到拉力作用进入磁场情形,分析所受外力情况和运动情况,利用法拉第电磁感应定律和闭合电路欧姆定律、安培力及其相关知识解答

( )

A

B

C

D

【解析】金属线框在导轨上向左匀速运动，要明确哪侧导体切割哪个区域的磁场磁感线，用右手定则判断产生感应电动势和感应电流的方向，需要分过程分析。

再从②移动到③的过程中左右两根棒切割磁感线产生的电流大小相等，方向相反，所以回路中感应电流为零。

【试题评析】此题中给出的磁场为磁感应强度大小相等、方向交替向上向下，正方形金属线框在导轨上向左匀速运动，判断线框中产生的感应电流图象。若给出线框中的磁通量图象、左侧边产生的感应电动势图象、左侧边两端点电压图象，可仿照上面的解析方法分析判断。

二、在竖直面进入磁场情形

情景解读在竖直或倾斜平面内线框在重力作用下由静止进入匀强磁场区域在竖直或倾斜平面内线框在重力作用下以某一速度进入匀强磁场区域在竖直平面内线框在重力作用下以某一速度从下方进入匀强磁场区域示意图运动分析线框在重力作用下加速进入磁场区域,切割磁感线产生感应电动势和感应电流,线框受到安培力作用,加速度减小,线框做加速度逐渐减小的加速运动;完全进入磁场区域,不产生感应电流,做加速度为g的加速运动线框以某一速度进入匀强磁场区域,切割磁感线产生感应电动势和感应电流,线框受到重力和竖直向上的安培力作用。①若重力大于安培力,则做加速度逐渐减小的加速运动;②若重力等于安培力,则做匀速运动;③若重力小于安培力,则做加速度逐渐减小的减速运动线框以某一速度进入匀强磁场区域,切割磁感线产生感应电动势和感应电流,线框受到重力和竖直向下的安培力作用,线框做加速度逐渐减小的减速运动速度图象

续表

【典例2】(2019年洛阳尖子生联考)如图所示，空间存在一有水平边界的条形匀强磁场区域，磁场方向与竖直平面垂直，边界间距为L。一边长也为L的正方形导线框沿竖直方向运动，线框所在平面始终与磁场方向垂直，且线框上、下边始终水平。t=0时刻导线框的上边恰好与磁场的下边界重合(图中位置Ⅰ)，导线框的速度为v0。经t1时间导线框的下边恰好与磁场的上边界重合(图中位置Ⅱ)，且导线框的速度刚好为零。再经t2时间又回到初始位置Ⅰ，此时线框的速度大小为v。设重力加速度为g，下列说法正确的是

( )

A.上升过程中线框的感应电流方向发生了改变

B.线框从位置Ⅰ向上运动到再落回到位置Ⅰ的过程中，它的加速度可能逐渐减小

C.t1>t2

【答案】ABD

【试题评析】此题以竖直上抛运动的线框进入匀强磁场区域为情景，通过分析线框的受力及运动性质，考查物理核心素养“物理观念”中的运动和相互作用，推导线框上升时间和下落时间的关系，考查科学推理能力。

三、受到拉力作用在竖直面或倾斜面进入磁场情形

情景解读在竖直平面内线框在重力和拉力作用下以某一速度进入匀强磁场区域在倾斜平面内线框在重力和拉力作用下以某一速度进入匀强磁场区域示意图 运动分析线框以某一速度进入匀强磁场区域,切割磁感线产生感应电动势和感应电流,线框受到重力、拉力和向下的安培力作用。对于线框向上的运动可能为:①若拉力大于重力与安培力沿运动方向分力之和,则做加速度逐渐减小的加速运动;②若拉力等于重力与安培力沿运动方向分力之和,则做匀速运动;③若拉力小于重力与安培力沿运动方向分力之和,则做加速度逐渐减小的减速运动。对于线框向下的运动可能为:①若拉力与安培力沿运动方向分力之和大于重力沿运动方向分力,则做加速度逐渐减小的减速运动;②若拉力与安培力沿运动方向分力之和等于重力沿运动方向分力,则做匀速运动;③若拉力与安培力沿运动方向分力之和小于重力沿运动方向分力,则做加速度逐渐减小的加速运动速度图象 能量转化分析拉力做功,产生电能和机械能,电能转化为焦耳热解题思维模型受到拉力作用在竖直面或倾斜面进入磁场情形,分析所受外力情况和运动情况,利用法拉第电磁感应定律和闭合电路欧姆定律、安培力及其相关知识解答

【典例3】如图所示，正方形单匝均匀线框abcd，边长L=0.4 m，每边电阻相等，总电阻R=0.5 Ω。一根足够长的绝缘轻质细线跨过两个轻质光滑定滑轮，一端连接正方形线框，另一端连接绝缘物体P，物体P放在一个光滑的足够长的固定斜面上，斜面倾角θ=30°，斜面上方的细线与斜面平行。在正方形线框正下方有一有界的匀强磁场，上边界Ⅰ和下边界Ⅱ都水平，两边界之间距离也是L=0.4 m。磁场方向水平，垂直纸面向里，磁感应强度大小B=0.5 T。现让正方形线框的cd边距上边界Ⅰ的正上方高度h=0.9 m的位置由静止释放，且线框在运动过程中始终与磁场垂直，cd边始终保持水平，物体P始终在斜面上运动，线框刚好能以v=3 m/s的速度进入匀强磁场并匀速通过匀强磁场区域。释放前细线绷紧，重力加速度g=10 m/s2，不计空气阻力。

(1)线框的cd边在匀强磁场区域运动的过程中，c、d间的电压是多大？

(2)线框的质量m1和物体P的质量m2分别是多大？

(3)在cd边刚进入磁场时，给线框施加一个竖直向下的拉力F使线框以进入磁场前的加速度匀加速通过磁场区域，在此过程中，力F做功W=0.23 J，求正方形线框cd边产生的焦耳热是多少？

【解析】(1)正方形线框匀速通过匀强磁场区域的过程中，设cd边上的感应电动势为E，线框中的电流强度为I，c、d间的电压为Ucd，则

由法拉第电磁感应定律得E=BLv

解得Ucd=0.45 V

(2)正方形线框匀速通过磁场区域的过程中，设受到的安培力为F，细线上的张力为FT，则

F=BIL

FT=m2gsinθ

m1g=FT+F

正方形线框在进入磁场之前的运动过程中，根据能量守恒，则

解得m1=0.032 kg，m2=0.016 kg

(3)因为线框在磁场中运动的加速度与进入前的加速度相同，所以在通过磁场区域的过程中，线框和物体P的总机械能保持不变，故力F做的功W等于整个线框中产生的焦耳热Q，即W=Q

设线框cd边产生的焦耳热为Qcd，根据Q=I2Rt得

解得Qcd=0.057 5 J

【试题评析】此题以在拉力作用下线框通过匀强磁场区域为情景，通过分析线框在运动过程中的各力做功与各种能量转化情况，考查能量观念核心素养。

四、平抛或斜抛运动进入磁场情形

情景解读在竖直平面内线框平抛运动进入匀强磁场区域在竖直平面内线框平抛或斜抛运动进入匀强磁场区域示意图运动分析线框在磁场区域外运动遵循平抛运动规律若匀速进入匀强磁场区域,在线框进入磁场区域的过程中,线框左右两侧边切割磁感线产生的感应电动势抵消,在计算感应电流时只需考虑下侧边切割磁感线运动产生的感应电动势线框左右两侧边所受安培力抵消,线框在水平方向做匀速直线运动,在竖直方向受到安培力和重力作用,可按照线框在竖直面内进入磁场区域运动分析线框完全进入磁场区域后,磁通量不变,不产生感应电流,线框在重力作用下运动线框在磁场区域外运动遵循平抛或斜抛运动规律在线框进入磁场区域的过程中,线框上下两侧边切割磁感线产生的感应电动势抵消,在计算感应电流时只需考虑右侧边切割磁感线运动产生的感应电动势刚进入磁场线框上下两侧边所受安培力抵消,线框在水平方向受到向左的安培力作用,做减速直线运动,在竖直方向只受到重力,可按照线框在竖直面内做自由落体或竖直上(下)抛运动分析线框完全进入磁场区域后,磁通量不变,不产生感应电流,线框在重力作用下运动速度图象 能量转化分析重力做功,产生电能,电能转化为焦耳热动能转化为电能,电能转化为焦耳热解题思维模型平抛或斜抛运动进入磁场情形,需要把线框的运动分解为水平方向和竖直方向的两个分运动,分别迁移相关知识分析解答

【典例4】(2018年4月浙江选考)如图所示，在竖直平面内建立xOy坐标系，在0≤x≤0.65 m、y≤0.40 m范围内存在一具有理想边界，方向垂直纸面向内的匀强磁场区域。一边长l=0.10 m、质量m=0.02 kg、电阻R=0.40 Ω的匀质正方形刚性导线框abcd处于图示位置，其中心的坐标为(0，0.65)。现将线框以初速度v0=2.0 m/s水平向右抛出，线框在进入磁场过程中速度保持不变，然后在磁场中运动，最后从磁场右边界离开磁场区域，完成运动全过程。线框在全过程中始终处于xOy平面内，其ab边与x轴保持平行，空气阻力不计。求：

(1)磁感应强度B的大小；

(2)线框在全过程中产生的焦耳热Q；

(3)在全过程中，cb两端的电势差Ucb与线框中心位置的x坐标的函数关系。

【解析】(1)线框做平抛运动，当ab边与磁场上边界接触时，竖直方向分速度

由于水平速度与竖直速度数值相等，所以线框进入磁场区域的速度方向与水平方向成45°角。题述线框匀速进入磁场区域，线框受力平衡，mg=BIl，线框ad边和cd边切割磁感线产生的感应电动势抵消，只需考虑ab边切割磁感线产生感应电动势，E=Blvy

联立解得B=2 T

(2)线框全部进入磁场区域后，磁通量不变，不产生感应电流，在水平方向做匀速运动，在竖直方向做加速度为g的匀加速直线运动。

从磁场右边界离开磁场区域过程中，上下两边产生的感应电动势抵消，只需考虑左侧边切割磁感线产生的感应电动势。

在水平方向，由动量定理-BilΔt=mΔv

设线框出来磁场区域的水平速度为v，方程两侧求和，注意到ΣiΔt=q，ΣmΔv=m(v-v0)

得Blq=m(v0-v)

代入相关数据解得v=1.5 m/s

根据能量守恒定律，线框在全过程中产生的焦耳热

代入相关数据解得Q=0.037 5 J

(3)图中2,3,4,5状态下线框中心横坐标分别为0.4 m，0.5 m，0.6 m，0.7 m。

当x≤0.4 m时，线框还没有进入磁场区域，Ucb=0；

由于x=0.4+v0t

当0.5 m

Ucb=Blv0=0.4 V

当0.6 m

代入数据解得vx=(5-5x) m/s

E=Blvx=2×0.1×(5-5x) V=(1-x) V