都是细绳惹的“祸”

2019-04-24重庆杨天才

教学考试(高考物理) 2019年1期

重庆杨天才

细绳是应用广泛的一种工具，以其为素材的问题，在历年高考物理题中都有体现，也是广大考生的难点。细绳按不同标准有不同的分类，按有无质量可分为轻绳和有质量的绳；轻绳按有无约束，可分为自由绳和约束绳；约束绳按约束方式可分为滑轮约束和结点约束；从受力角度看，轻绳所处的状态可分为松弛(FT=0)、绷直(FT≥0)、绷紧(FT>0)、断裂(拉力从较大突变为零)。在不同分类里，与绳相连的物体的受力情况、运动情况有不同的特点，现举例归纳如下。

一、同一轻绳各处的张力大小均相等

(1)若轻绳上有“活结”，如滑轮、光滑挂钩，“活结”把绳子分成两段，但可以沿绳子移动。实际上是同一根绳，所以由“活结”分开的两段绳子上张力的大小一定相等。

(2)若轻绳上有“死结”，“死结”把绳子分成两段，且不可以沿绳子移动。两侧的绳因结而变成了两根独立的绳，因此由“死结”分开的两段绳子上的弹力大小不一定相等。

【例1】如图1甲所示，细绳AD跨过固定的水平轻杆BC右端的定滑轮，挂住一个质量为M1的物体，∠ACB=30°；图乙中轻杆HG一端用铰链固定在竖直墙上，另一端G通过细绳EG拉住，EG与水平方向也成30°夹角，轻杆的G点用细绳GF拉住一个质量为M2的物体，求：

(1)细绳AC段的张力FTAC与细绳EG的张力FTEG之比；

(2)轻杆BC对C端的支持力；

(3)轻杆HG对G端的支持力。

(2)图2甲中，三个力之间的夹角都为120°，根据平衡条件有FNC=FTAC=M1g，方向与水平方向成30°夹角，指向右上方。

二、轻绳两端连接的物体沿绳方向速度大小相等，方向不同

【例2】(多选)如图3所示，做匀速直线运动的小车A通过一根绕过定滑轮的长绳吊起一重物B，设重物和小车速度的大小分别为vB、vA，则

( )

A.vA>vB

B.vA

C.绳的拉力等于B的重力

D.绳的拉力大于B的重力

【解析】小车A向左运动的过程中，小车的速度是合速度，可分解为沿绳方向与垂直于绳方向的速度，如图4所示，轻绳两端连接的物体沿绳方向速度大小相等。由图可知vB=vAcosθ，则vB

三、绳绷紧，轻绳两端沿绳方向连接的物体瞬间达到共速，此时满足动量守恒，一般机械能有损失

1.绳端两物体共速为零

【例3】如图5所示，将一质量为m的小球用长为L的轻绳系住，绳的另一端固定在天花板上O点，现让绳子刚好绷直且与水平方向成30°夹角，松手释放后，求小球运动到最低点时绳的拉力大小。

v2=v1cos30°

从B到C，由机械能守恒定律，有

在C点，对m由合外力提供向心力，有

2.绳端两物体共速且不为零

3.定滑轮约束轻绳后，绳端两物体速度大小相等方向相反

【例5】(2017年天津卷第10题)如图8，物块A和B通过一根轻质不可伸长的细绳连接，跨放在质量不计的光滑定滑轮两侧，质量分别为mA=2 kg、mB=1 kg。初始时A静止于水平地面上，B悬于空中。先将B竖直向上再举高h=1.8 m(未触及滑轮)然后由静止释放。一段时间后细绳绷直，A、B以大小相等的速度一起运动，之后B恰好可以和地面接触。取g=10 m/s2。空气阻力不计。求：

(1)B从释放到细绳刚绷直时的运动时间t；

(2)A的最大速度v的大小；

(3)初始时B离地面的高度H。

(2)设细绳绷直瞬间B速度大小为v0，有v0=gt=6 m/s，细绳绷直瞬间，细绳张力远大于A、B的重力，总动量守恒：mBv0=(mA+mB)v，绳子绷直瞬间，A、B系统获得的速度：v=2 m/s，之后A做匀减速运动，所以A的最大速度为2 m/s；

4.轻绳自由移动，绳端两物体满足动量守恒和机械能守恒。

【例6】如图9，质量为M的小车放在光滑的轨道上，长为L的轻绳一端系在小车上另一端拴一质量为m的金属球，将小球拉开至轻绳处于水平状态由静止释放。求：

(1)小球摆动到最低点时两者的速度；

(2)此时小球受细绳的拉力是多少。

【解析】(1)由动量守恒定律0=mvm-MvM

(2)当小球运动到最低点时，受到竖直向上的拉力FT和重力作用如图10，根据向心力的公式

四、绳拉断，轻绳两端沿绳方向连接的物体速度不一定相等，此时满足动量守恒，机械能有损失

【例7】光滑水平面上放着质量mA=1 kg的物块A与质量mB=2 kg的物块B，A与B均可视为质点，A靠在竖直墙壁上，A、B间夹一个被压缩的轻弹簧(弹簧与A、B均不拴接)，用手挡住B不动，此时弹簧弹性势能Ep=49 J。在A、B间系一轻质细绳，细绳长度大于弹簧的自然长度，如图11所示。放手后B向右运动，绳在短暂时间内被拉断，之后B冲上与水平面相切的竖直半圆光滑轨道，其半径R=0.5 m,B恰能到达最高点C。g=10 m/s2，求：

(1)绳拉断后瞬间B的速度vB的大小；

(2)绳拉断过程绳对B的冲量I的大小；

(3)绳拉断过程绳对A所做的功W。

【解析】(1)设B在绳被拉断后瞬间的速度为vB，到达C点时的速度为vC，有

代入数据得vB=5 m/s。

代入数据得I=-4 N·s，其大小为4 N·s。

(3)设绳断后A的速度为vA，取水平向右为正方向，有

代入数据得：W=8 J。

五、有质量的绳不再满足上述轻绳的系列结论，因研究对象会随着绳长的改变而发生改变

【例8】(多选)如图12所示，一根长度为2L、质量为m的绳子挂在定滑轮的两侧，左右两边绳子的长度相等。绳子的质量分布均匀，滑轮的质量和大小均忽略不计，不计一切摩擦。由于轻微扰动，右侧绳从静止开始竖直下降，当它向下运动的位移为x时，加速度大小为a，滑轮对天花板的拉力为FT，绳子动能为Ek。已知重力加速度大小为g，下列a-x、Ek-x、FT-x关系图线正确的是

( )

六、轻绳中张力的大小随状态不同而改变

【例9】物体A的质量为2 kg，两根轻细绳b和c的一端连接于竖直墙上，另一端系于物体A上，在物体A上另施加一个方向与水平线成θ角的拉力F，相关几何关系如图13所示，θ=60°。若要使两绳都能伸直，求拉力F的大小范围。(g取10 m/s2)

【解析】作出物体A的受力分析图如图14所示，由平衡条件得

Fsinθ+F1sinθ-mg=0

Fcosθ-F2-F1cosθ=0

要使两绳都伸直，则有F1≥0，F2≥0

七、轻绳中张力的大小发生突变

【例10】如图15所示，一质量为m的物体系于长度分别为L1、L2的两根细绳OA、OB上，OB一端悬挂在天花板上，与竖直方向夹角为θ，OA水平拉直，物体处于平衡状态，现在将OA剪断，求剪断瞬间物体的加速度。

【解析】剪断瞬间，绳OA产生的拉力F1消失，对绳来说，其伸长量很微小，可以忽略不计，不需要形变恢复时间，因此，绳子中的张力也立即发生变化，这时F2将发生瞬时变化，mg与F2的合力将不再沿水平方向，而是沿小球下一时刻做单摆运动的圆弧的切线方向，与绳垂直，如图16所示，F合=mgsinθ，所以a=gsinθ。

八、弹性轻绳等效于轻弹簧，受力时发生明显的弹性形变

【例11】蹦极是一项既惊险又刺激的运动，深受年轻人的喜爱。如图17所示，蹦极者从P点由静止跳下，到达A处时弹性绳刚好伸直，继续下降到最低点B处，B离水面还有数米距离。蹦极者(视为质点)在其下降的整个过程中，重力势能的减少量为ΔE1，绳的弹性势能的增加量为ΔE2，克服空气阻力做的功为W，则下列说法正确的是

( )