一类匀变速直线运动模型的拓展应用

陕西 刘秉哲

一切物体的运动都必须经历加速启动和减速停止两个运动过程。可以将这两个运动过程简化为“质点从静止开始，先以加速度a1做匀加速直线运动，达到最大速度vm后，立即以加速度a2做匀减速直线运动直到停止”，即“0—vm—0”的运动学模型。该模型及其拓展模型是运动学的常见模型，也是高考中力与运动综合问题考查的重点。下面结合自己的体会，对该运动学模型进行总结和拓展应用。

一、模型的建立和规律

匀变速直线运动“0—vm—0”的运动学模型中各物理量的方向及其对应关系如图所示：

模型分为两个匀变速直线运动过程，涉及位移、速度、加速度以及时间四个描述运动的物理量。其中最大速度vm是该模型最重要的物理量，它既是匀加速段的末速度又是匀减速段的初速度，起到衔接两个运动过程的作用，是解决问题的关键。围绕最大速度vm，此运动模型的规律总结为：九个重要关系式和一个运动图象。

1.初速度为零的匀加速直线运动过程的重要关系式

(1)速度时间关系：vm=a1t1①

2.末速度为零的匀减速直线运动过程的重要关系式(将匀减速运动过程逆向视为匀加速运动)

(1)速度时间关系：vm=a2t2④

3.全过程的重要关系式

(1)①④两式联立得总时间：

(2)②⑤或③⑥两式联立得总位移：

(3)由⑧式得总位移与总时间的关系：

4.速度图象

二、模型的拓展及应用

【例1】一个小球从斜面顶端无初速度下滑，接着又在水平面上做匀减速运动，直至停止，它共运动了10 s，斜面长4 m，在水平面上运动的距离为6 m。求：

(1)小球在运动过程中的最大速度；

(2)小球在斜面和水平面上运动的加速度。

【解析】(1)设小球运动过程中的最大速度为vm，则小球的总路程为

解得vm=2 m/s

将匀减速运动过程逆向视为匀加速运动

【例2】跳伞运动员做低空跳伞表演，他在离地面224 m高处，由静止开始在竖直方向做自由落体运动，一段时间后，立即打开降落伞，以12.5 m/s2的平均加速度匀减速下降，为了运动员的安全，要求运动员着地速度最大为5 m/s(g取10 m/s2)。求：

(1)运动员展开伞时，离地面高度至少为多少；

(2)运动员从开始下落到着地的时间。

【解析】(1)设运动员运动过程中的最大速度为vm，将匀减速直线运动过程逆向匀加速，则有

解得vm=50 m/s

(2)运动员从开始到落地的时间为

【总结感悟】对于物体由某一速度匀加速运动到最大速度，再匀减速运动到另一速度；或由某一速度先以加速度a1匀加速到最大速度，再以加速度a2继续匀加速到另一速度等由两个匀变速直线运动组成的运动学问题，均可紧紧抓住衔接速度参照“0—vm—0”的运动学模型的规律进行解答。

【例3】如图是上海中心大厦，小明乘坐大厦快速电梯，从底层到达第119层观光平台仅用时55 s。若电梯先以加速度a1做匀加速运动，达到最大速度18 m/s，然后以最大速度匀速运动，最后以加速度a2做匀减速运动恰好到达观光平台。假定观光平台高度为549 m。

(1)若电梯经过20 s匀加速达到最大速度，求加速度a1及上升高度h；

(2)求电梯匀速运动的时间。

【解析】(1)对匀加速直线运动过程：

vm=a1t1

解得a1=0.9 m/s2

h=180 m

(2)方法一：公式法

设运动总时间为t，匀速运动的时间为t匀，匀减速运动的时间为t2，则对全过程可得：

t=t1+t匀+t2

联立得t匀=6 s

方法二：图象法

解得t匀=6 s

【总结感悟】本题相比较“0—vm—0”的运动学模型，多出了匀速运动过程，更加符合实际物体的运动情况，解答时结合匀速运动的关系式s=vt即可。

三、模型的综合应用

【例4】如图，质量m=2 kg的物体静止于水平地面的A处，A、B间距L=20 m。用大小为30 N，沿水平方向的外力拉此物体，经t0=2 s拉至B处。(已知cos37°=0.8，sin37°=0.6。取g=10 m/s2)

(1)求物体与地面间的动摩擦因数μ；

(2)用大小为30 N，与水平方向成37°的力斜向上拉此物体，使物体从A处由静止开始运动并能到达B处，求该力作用的最短时间t。

由牛顿第二定律得F-μmg=ma

联立以上两式可得μ=0.5

(2)设F作用的最短时间为t，小车先以大小为a1的加速度由静止匀加速t秒，撤去外力后，再以大小为a2的加速度匀减速到达B处，速度恰为0。对两个过程由牛顿第二定律得

Fcos37°-μ(mg-Fsin37°)=ma1

μmg=ma2

代入数据解得a1=11.5 m/s2

a2=5 m/s2

将匀减速运动过程逆向视为匀加速运动，全运动过程由运动学公式可得

解得v=11.8 m/s

对匀加速运动过程由v=a1t得

t=1.03 s

【总结感悟】对于“0—vm—0”的运动学模型及其拓展模型的综合问题，如果涉及时间和加速度，则优先选择力与运动观点解答，如传送带与板块模型。

( )

A.打到下极板上

B.在下极板处返回

【解析】带电粒子在重力作用下下落，此过程中重力做正功，当带电粒子进入平行板电容器时，电场力对粒子做负功。若带电粒子在下极板处返回，全过程应用动能定理可得

【总结感悟】对于“0—vm—0”的运动学模型及其拓展模型的综合问题，如果不涉及时间和加速度，则优先选择功能观点解答。