电磁感应与力学综合问题的分析思路与求解策略

2019-04-24湖北

教学考试(高考物理) 2019年1期

湖北许文

电磁感应与力学的综合问题是高考中的高频考点之一，考查内容主要集中在电磁感应与力学中力的平衡、力与运动、功与能的关系上，通常还与电路等知识综合成难度较大的试题，与现代科技结合密切，对理论联系实际的能力要求较高。本文通过典型实例的分析，从力与运动、力与能的观点，分析电磁感应与力学的综合问题。

一、电磁感应中的动力学问题

1．分析主线。对电磁感应中的动力学问题进行分析，应抓住“力”与“电”两条主线：

(1)“电”线。产生感应电动势的部分导体相当于电源，电源与外电路组成闭合电路，应用的规律有法拉第电磁感应定律、楞次定律、闭合电路的欧姆定律等；

(2)“力”线。物体的受力分析、运动过程分析，应用的规律有牛顿第二定律、动能定理、能的转化与守恒定律等。

2．分析思路。一般按“先电后力”的顺序进行，即：

(1)源—电路中由电磁感应所产生的电源，求出电源参数E和r；

(2)路—电路结构，求出相关部分的电流大小，以便求解安培力；

(3)力—对象(如金属棒、导体、线圈等)的受力，尤其注意其所受的安培力；

(4)运动—根据力和运动的关系，正确判断出运动性质，选用相应的力学规律。

(一)用力与运动观点分析

从力与运动的观点分析电磁感应中的动力学问题，应以安培力FA为中心展开。FA的变化将导致物体合外力F的变化，由牛顿第二定律分析其加速度的变化，从而分析物体的运动情况。

【例1】如图1所示，MN、PQ为两根足够长的水平放置的平行金属导轨，间距L=1 m；整个空间以OO′为边界，左侧有垂直导轨平面向上的匀强磁场，磁感应强度大小B1=1 T，右侧有方向相同、磁感应强度大小B2=2 T的匀强磁场。两根完全相同的导体棒a、b，质量均为m=0.1 kg，与导轨间的动摩擦因数均为μ=0.2，其在导轨间的电阻均为R=1 Ω。开始时，a、b棒均静止在导轨上，现用平行于导轨的恒力F=0.8 N向右拉b棒。假定a棒始终在OO′左侧运动，b棒始终在OO′右侧运动，除导体棒外其余电阻不计，滑动摩擦力和最大静摩擦力大小相等，g取10 m/s2。求

(1)a棒开始滑动时，b棒的速度大小；

(2)当b棒的加速度为1.5 m/s2时，a棒的加速度大小；

(3)经过足够长的时间后，b棒开始做匀加速运动的加速度大小，并计算此时a棒中电流的热功率。

【解析】(1)设a棒开始滑动时回路中电流为I，b棒速度为v。对a棒有：B1IL=μmg

由法拉第电磁感应定律和闭合电路欧姆定律得

解得：v=0.2 m/s

(2)设a棒的加速度为a1，b棒的加速度为a2，对两棒分别由牛顿运动定律得

B1IL-μmg=ma1，F-B2IL-μmg=ma2；解得：a1=0.25 m/s2

(3)当b棒做匀加速运动时，其受到的安培力应不变，则回路中的感应电流不变，这时a棒受到的安培力也不变，故a棒也做匀加速运动。设a、b棒开始做匀加速运动的加速度大小分别为a1′、a2′，对两棒分别由牛顿第二定律得

B1IL-μmg=ma1′，F-B2IL-μmg=ma2′

由于电流I不变，则B2Lv2-B1Lv1为常量，故两棒的加速度大小满足：a1′=2a2′

解得：I=0.28 A，a2′=0.4 m/s2

a棒中电流的热功率P=I2R；解得P=0.078 4 W

【答案】(1)0.2 m/s (2)0.25 m/s2(3)0.4 m/s2

0.078 4 W

【例2】如图2所示，水平面内有两根足够长的平行导轨L1、L2，其间距d=0.5 m，左端接有容量C=2 000 μF的电容。质量m=20 g的导体棒可在导轨上无摩擦滑动，导体棒和导轨的电阻不计。整个空间存在着垂直导轨所在平面的匀强磁场，磁感应强度B=2 T。现用一沿导轨方向向右的恒力F1=0.44 N作用于导体棒，使导体棒从静止开始运动，经t时间后到达B处，速度v=5 m/s。此时，突然将拉力方向变为沿导轨向左，大小变为F2，又经2t时间后导体棒返回到初始位置A处，整个过程电容器未被击穿。求

(1)导体棒运动到B处时，电容C上的电荷量；

(2)t的大小；

(3)F2的大小。

【解析】(1)当导体棒运动到B处时，电容器两端电压：U=Bdv=2×0.5×5 V=5 V,此时电容器的带电荷量：q=CU=2 000×10-6×5 C=1×10-2C。

由牛顿第二定律有：F1-BId=ma1

将相关数据代入解得：F2=0.55 N

【答案】(1)1×10-2C (2)0.25 s (3)0.55 N

【解后反思】金属棒在外力作用下沿导轨滑动是一种变速直线运动。棒在滑动的过程中做切割磁感线运动,感应电动势E=Bdv，不计电路中所有的电阻，则电容器两端的电压U=E，电容器极板上积累的电荷量q=CU=CBdv随v的变化而变化，可见棒在沿导轨做变速滑动的过程中，由于电容器充放电，电路中存在电流，棒会受到安培力的作用。以上求解是基于力与运动的观点，用牛顿运动定律进行分析，其中用到了微元法，即将棒的运动分为很多微小过程单元，对其中某个微小单元进行研究，得出此微小单元内棒的加速度大小，根据此微小单元内棒的加速度的表达式的特点推出整个过程中棒的加速度。这种由局部推知整体的科学思维方法，这是物理学研究中的一种最基本的方法。

【小结】从力与运动的观点分析电磁感应中的动力学问题，其解题流程一般为：(1)找准主动运动者，用法拉第电磁感应定律和楞次定律求解感应电动势的大小和方向；(2)根据等效电路图，求解回路中感应电流的大小及方向；(3)分析安培力对导体棒运动速度、加速度的影响，从而推理得出对电路中的感应电流有什么影响，最后分析导体棒的最终运动情况；(4)根据牛顿第二定律或力的平衡列方程，并结合相关的数学知识进行求解。

(二)用动量定理分析

在导体棒或线圈做切割磁感线运动的这类电磁感应问题中，导体棒或线圈受到的安培力的大小FA往往与其运动速度v的大小有关。如果导体棒或线圈的运动是变速运动，则FA的大小是变化的，导体棒或线圈受到的合外力一般也是变化的。用动量定理求解这类电磁感应问题时，可以采用微元法与安培力冲量的推论两种方法。

方法1：微元法。当导体棒或线圈切割磁感线做变速运动时，可将其运动过程分成很多微小单元。在一个“微元”的很短时间Δt或很小位移Δx内，非匀变速运动可以看作匀变速运动或匀速运动。

【例3】如图3所示，顶角θ=45°的金属导轨MON固定在水平面内，导轨处在方向竖直、磁感应强度为B的匀强磁场中。一根与ON垂直的导体棒在水平外力作用下以恒定速度v0沿导轨MON向右滑动，导体棒的质量为m，导轨与导体棒单位长度的电阻均匀为r。导体棒与导轨接触点a和b，导体棒在滑动过程中始终保持与导轨良好接触。t=0时导体棒位于顶角O处，若在t0时刻将外力F撤去，求导体棒最终在导轨上静止时的坐标x。

【解后反思】撤去外力后导体棒切割磁感线做非匀变速运动，回路中因存在感应电流，棒受到的安培力是一个变力，以上解法中采用了微元法。有vΔt=Δx，lvΔt=ΔS。微元法体现了微分思想；然后在对ΔS求和的过程中又体现了积分思想。

【例4】如图6所示，在空中有一水平方向、高度为h的匀强磁场区域，磁感应强度为B，有一长度为L宽度为b(b

【解析】线圈从开始运动到上边到达磁场上边缘过程中线圈受重力与安培力的作用，设运动时间为t1，此时线圈速度大小为v1，对此过程由动量定理得：mgt1-IA=mv1；

设线圈下边到达磁场的下边缘时恰好做匀速运动，速度大小为v2，此时线圈重力与其受到的安培力相平衡，有：

线圈完全在磁场中运动时只受重力作用，运动时间为：

【小结】应用动量定理分析电磁感应动力学问题，关键是求变化的安培力的冲量。微元法与推论法可以求出或表达变化的安培力的平均冲量，从而为利用动量定理来定量分析研究这类电磁感应问题带来方便。

二、电磁感应中的能量问题

1．分析要点

围绕安培力做功进行分析。外力克服安培力做了多少功，就有多少其他形式的能转化为电能。若电路中无贮存电能的元件，产生的电能通过电流做功转化为内能；安培力做了多少功，就有多少电能转化为其他形式的能。

2．求解策略

(1)若回路中电流恒定，可以利用电路结构及W=UIt或Q=I2Rt直接进行计算电能；

(2)若电流变化，则：①利用安培力做的功求解：电磁感应中产生的电能等于克服安培力所做的功；②利用能量守恒求解：若只有电能与机械能的转化，则机械能的减少量等于产生的电能。

(一)用功与能的观点分析

电磁感应中能量的变化体现出电与磁在内的能量转化和守恒定律的普遍性。分析问题时，应当牢牢抓住能量守恒这一基本规律，分析清楚有哪些力做功，就可知道有哪些形式的能量参与了相互转化。如有摩擦力做功，必然有内能出现；重力做功，就可能有机械能参与转化；安培力做负功就将其他形式的能转化为电能，安培力做正功则电能转化为其他形式的能；利用能量守恒列出方程进行求解。

【例5】如图7所示，两个金属轮A1、A2，可绕通过各自中心并与轮面垂直的固定的光滑金属细轴O1和O2转动，O1和O2相互平行，水平放置，每个金属轮的中心与轮沿间均匀分布四根金属辐条。A1轮上每根辐条长为a1、电阻为R1，A2轮上每根辐条长为a2、电阻为R2。半径为a0的绝缘圆盘D与A1同轴且固连在一起，一轻细绳的一端固定在D边缘上的某点，绳在D上绕足够匝数后，悬挂一质量为m的重物P，当P下落时，通过细绳带动D和A1绕O1轴转动，转动过程中，A1、A2保持接触且无相对滑动；两轮与各自细轴之间保持良好的电接触；两细轴通过导线与一阻值为R的电阻相连，除R和A1、A2两轮中辐条的电阻外，其他电阻都不计，整个装置处在磁感应强度为B的匀强磁场中，磁场方向与转轴平行，现将重物P释放，试求P下落的最大速度。

【解后反思】电磁感应现象中，其他形式的能向电能转化是通过安培力的功来量度的。

从能量的角度看，楞次定律就是能量转化和守恒定律在电磁感应现象中的具体表现。本题中重物P的运动有两个阶段：第一阶段做变加速运动，此过程中重物减少的机械能转化为电路中的电能与两轮的机械能之和；第二阶段以最大速度做匀速运动，此过程中重物减少的重力势能转化为电路中的电能。以上求解中选取第二阶段进行研究，有效地避免了对两轮机械能变化的分析与极值的运算，其求解过程简洁。

【小结】电磁感应过程往往涉及多种能量形式的转化，因此从功和能的观点入手，分析清楚能量转化的关系，往往是解决电磁感应问题的重要途径。在运用功能关系解决问题时，应注意能量转化的来龙去脉，顺着受力分析、做功分析、能量分析的思路严格进行，并注意功和能的对应关系。

(二)用能量与动量的观点分析

在双滑杆做切割磁感线运动产生的电磁感应中，在运动过程中的任一时刻，往往由于两滑杆所受的安培力大小相等方向相反，若两杆不受其他外力的作用，则两杆系统所受的合外力为零，两杆系统总动量守恒。这种情况下两杆与磁场的相互作用过程与两物体的碰撞过程类似。可用动量守恒定律与能量守恒定律分析双滑杆类电磁感应与力学的综合问题。

【例6】如图8所示，PQ和MN是固定于倾角θ=30°斜面内的平行光滑金属轨道，轨道足够长，其电阻可忽略不计。金属棒ab、cd放在轨道上，始终与轨道垂直且接触良好。金属棒ab的质量为2m，cd的质量为m，长度均为L，电阻均为R；两金属棒的长度恰好等于轨道的间距，并与轨道形成闭合回路。整个装置处在垂直斜面向上、磁感应强度为B的匀强磁场中，若锁定金属棒ab不动，使金属棒cd在与其垂直且沿斜面向上的恒力F=2mg作用下，沿轨道向上做匀速运动。重力加速度为g。