变常态之法 收出奇之效

王炎萍 钱科英

【摘要】小学生在理解知识和解决问题时，往往习惯于注重局部而缺乏整体思考，从而影响了学生思维的广度和深度，这就需要教师在原有知识的基础上，突破定式思维，适当改变，及时引导，帮助学生感悟和接受整体思想，从而达到触类旁通、举一反三的功效。在尊重教材的基础上，从改变习题条件、改变教学定式、改变思维角度出发，渗透整体分析意识，内化策略思想方法，提升宏观理解能力，以期学生获得最大发展。

【关键词】思维定式 数学思想 整体把握 课堂转变

一、改变习题条件，渗透整体分析意识

从问题的整体出发，克服思维定式，不把注意力仅仅停留在细枝末节上，而是把某些图形或式子看成一个整体，进行有目的、有意识的整体处理。

练习题：如图，大正方形的边长是10厘米，求圆的面积。

虽然班级很少有人做错，但是在教学时，笔者稍稍做了改变：

（1）大正方形的边长是10厘米，求圆里小正方形的面积。

（2）大正方形的面积是32平方厘米，求这个圆的面积。

第一个问题学生通过连接小正方形的四个端点，发现小正方形的面积等于大正方形面积的一半，让学生初步感受整体思考问题的价值。在解决第二个问题时学生有点束手无策，那是因为长期求圆的面积时，习惯要先知道半径才能算，这时引导学生如何用含有半径的式子表示图中小正方形的面积，发现可以用r×r表示，得到了r×r=8平方厘米，这样圆的面积S=π×8=25.12平方厘米。引导学生反思：已知半径只是求圆面积的一种情况，运用整体思想，圆的面积是以半径为边长的正方形面积的π倍。

同样，在教学“已知棱长为6厘米的正方体，把它削成一个最大的圆锥，这个圆锥的体积是多少立方厘米”时，笔者将其条件改编形成例题：“正方体的体积是360立方厘米，把它削成一个最大的圆锥，这个圆锥的体积是多少立方厘米？”圆锥的底面直径和高正好是正方体的棱长，但棱长无法求得。那么，圆锥的体积与正方体的体积有什么关系呢？有了上一题的活动经验，很多学生发现，如果正方体的棱长是a，那么它的体积就是a3，而圆锥的体积是 [1] [3]×π×[a] [2]×[a] [2]×a=[1] [12]πa3。因此，圆锥的体积=[1] [12]×3.14×360=94.2立方厘米。

通过改变例题条件中的一个数据，打破学生原来思维分析的定式，让学生能够体会整体分析的优势，形成了举一反三的思维模式，同时，多样化方法的分析也让课堂练习丰盈厚实起来，更好地体现习题教学的价值和课堂效益的提升。这一切都需要教师根据学生的实际情况课前精心构思，课上精彩演绎。

二、改变教学定式，内化策略思想方法

小学数学教材体系贯穿着两条线索：一条数学知识（这是明线），一条是数学思想方法（这是暗线）。由于教材呈现形式的局限，往往难以明确地展现内在的思想和方法，所以教师要深入分析教材，明确概念，把握例题的本质是什么，从怎样的材料出发，经过怎样的过程概括出来，最终要形成怎样的数学结构，领悟怎样的数学思想方法。

如：“4支球队，每两支球队比赛一场，一共要比赛多少场？”因为刚刚学过列举策略，大部分学生通过列表或画图给出的列式是“3+2+1”，这时有一个学生举手发言，给出“1+2+3”，看上去一样，但我还是想知道他的想法，于是有了下面的教学片段：

生：我先想两支球队，比赛一场，三支球队就是比赛3场，也就是“1+2”，这样四支球队比赛6场也就是“1+2+3”。

师：是的，先研究简单的情况，发现规律后就能解决复杂的问题。

师：那么和列举的方法有什么不同呢？

生：列举时首先要确定第一个数是几。

师：比如5支球队？

生：首先是第一支球队和其他四支球队各比赛一场就是4场，然后分别是3场、2场、1场，最后结果就是4+3+2+1。

师：那找规律时要注意什么呢？

生：列式的最后一个数字比足球队总数少1。

师：看来，你们已经掌握这两种方法的精髓，谁能说说“50支球队”应该怎样列式？

生：列举法：49+48+47+…+1，找规律：1+2+3+…+49。

师：这两种方法除了适用“足球比赛”这类问题，还能解决哪些问题呢？

生1：比如平面上有10个点，任意3个点不在一条直线上，过其中两点画一条直线，最多可以画多少条直线。

生2：班上50个人，每两个人握一次手，一共要以握多少次？

生3：4个人，每两个人相互寄一张贺卡，一共要寄多少张？

生4：不对，“寄贺卡”是在原来“比赛”或“握手”的基础上乘2，也就是（3+2+1）×2=12（张）。

生5：我觉得不要那么麻烦，寄贺卡时每个人寄3张，共4个人也就是3×4=12（张）。

师：你们说得真好，“寄贺卡”的问题可以转化成“握手”问题然后乘2，当然也可以整体考虑每个人寄了几张，有几个人，求一共寄多少张就是用乘法。还有想表达想法的吗？

生：“握手”的問题同样也可以转化成“寄贺卡”的问题再除以2。

师：你有什么想法吗？

生：我可以把刚才50支球队“比赛”的问题看成是“寄贺卡”，每个人寄49张，一共50个人，也就是49×50，因为它不是寄贺卡的问题，有重复，最后还要除以2，最后的结果就是49×50÷2=1225（场）。（全班鼓掌）

师：看来，我们从简单的问题入手，发现规律后可以去解决复杂的问题，这是一种重要的数学思想方法。

数学教学不应只是结果的教学，更应注重过程的教学，以学生的已有经验为基础，善于捕捉课堂中别样的声音，探寻学生这些声音中的深层含义和思维方式。关注教学设计之外的课堂即时思考，并将之放大、挖深，与常规方法深入比较，结合具体内容让学生在数学活动中“经历过程”，运用策略的同时感悟数学思想。

三、改变思维角度，提升宏观理解能力

教学“复习平面图形的周长和公式”时，学生虽对平面图形的面积计算公式记得很牢靠，公式的推导也大致能掌握，这样的复习课若是将新课重新教学一遍，教师教得无味，学生学得也枯燥。这时不妨换个角度，着眼整个数学知识领域，引入“轨迹”和“积分”思想，延伸原有知识的深度和广度，用运动的眼光重新“审视”平面图形的面积计算公式，提升思维品质，整体把握数学本质。

1.引导学生感悟长方形的形成过程

师生谈话：刚刚，我们用静止的眼光看平面图形，如果用运动的眼光看一个长方形，它是由一条运动的线段，从AB沿垂直于这条线段的方向平移到CD，留下的轨迹。在运动过程中可以看出，这个长方形的大小（面积）由两个因素决定：第一是运动线段的长度也就是长方形的长，第二是线段运动的距离也就是长方形的宽，两者的乘积就是长方形的面积：S=ab。

2.小组讨论研究平行四边形的形成过程

讨论发现，平行四边形运动的距离不是另一边的长度，而是平移前后两条线段间的垂直距离也就是平行四边形的高，所以它的面积S=ah。

3.全班交流梯形、三角形的形成过程

探究发现，与长方形和平行四边形不同的是，形成梯形的运动线段其长度在连续、均匀地变化（均匀变化指的是线段上升距离一样时线段变化的长度也相同，类似于等差数列的变化规律）。这时运动线段的长度可以用变化的平均值[a+b] [2]代替。这样就得到了梯形的面积计算公式S=[a+b] [2]×h=[1] [2]（a+b）h。

三角形则是线段继续运动，且长度变为0的特殊情况，这样三角形的面积S=[a+0] [2]×h=[1] [2]ah。

4.教師引导感悟圆的形成过程

细心感悟，圆是由一条曲线也就是圆周线，由外向里垂直运动的过程中，其长度缩短为一个点O（圆心）时停止了运动。因为圆周长C=2πr，曲线的长度均匀地减少，所以平均值可以用（2πr+0）÷2来代替，这样圆的面积S=[C+0] [2]×r=πr2。在这个过程中，其实我们还能得到环形的面积公式S=[C1+C2] [2]×（r1-r2）。

换个角度，圆还可以看作是由半径旋转一周得到的，运动线段的长度r从头到尾没有变化，而半径上每一个点的垂直运动距离发生着变化，且是均匀地减少，如圆心位置的运动距离就是0，端点处的运动距离就是2πr，所以平均值用（2πr+0）÷2来代替，这样圆的面积S=r×[C+0] [2]=πr2。

这样平面图形的面积计算公式就可以用S=a×b（a表示运动线段的平均值，b表示运动中垂直距离的平均值）。

从运动角度了解“线动成面”，整体把握平面图形的形成及面积的推导过程，为高学段的学习奠定了思想基础。以上四个过程的学习，教学内容和教学方法高度整合，改变了学生的思维角度，让学生尝试着从现有的割裂的知识点跳出来，站在更高的层次来反观问题，提升了他们从宏观上来分析一类问题的能力，这对于数学的更高层次的学习和数学素养的提升将起到影响深远的作用。

上述三点充分说明，教师要把眼光从长期“定式”的教学模式中抽离出来，尽可能地将知识技能、数学思考、问题解决、情感态度进行有机结合，发掘知识的“生长点”和“延伸点”，通过长期的诱与思、导与学，发现新的迷人的通道或风景，让学生真正喜欢数学，肯钻研数学，发现数学真的很好玩，最终达到最佳的课堂学习效果。