从初等数学到数学分析

吴延科 李乃医

【摘要】 初等数学和数学分析是两个不同阶段的知识体系，前者是大众教育，而后者是专业教育.本文通过具体的例子，讨论了如何在现有初等数学知识基础上，帮助学生顺利学习和理解数学分析的知识体系和内容.

【關键词】 初等数学;数学分析;新课程改革

对数学专业的大学新生来讲，从中学经历高考的洗礼进入大学，首先面对的就是数学分析这门最基础和最重要的专业课的学习.随着我国基础教育的不断改革，中学数学的内容和难度几经变换，教学内容已经大幅拓展，融入了很多高等数学的基础内容，同时，一些应用不太广泛的内容进行了删减或降低难度.尽管如此，大多数的数学专业学生从中学走进大学，还是不能适应大学数学尤其是数学分析的学习.数学分析是初等数学的升华，可以高屋建瓴地对初等数学问题提供新的解决手段和方法.更为重要的是，这些新的手段和方法可以毫无困难地进行推广，方便地用来解决初等数学不能解决的问题.从中学数学到数学分析，学生需要从方法、内容等方面进行重新认识，从心态、精力等自身因素进行调整，才能顺利过渡到知识的彼岸.

中学数学既包括数学的基本概念、性质、法则、公式、定理等表层知识，也涉及数学的一些思想和方法等深层知识.在学习中，中学数学由于学习时长较长，更关注的是一些技巧性的训练.数学分析是一个完整的数学体系，在学习中，更关注的是对基本概念、性质、法则、逻辑推理的理解和掌握.从初等数学到数学分析，应该有一个平缓的过渡，使学生能够相对自然地接受新的更高层次的知识.

一、适当补充初等数学知识

数学分析因其内容庞杂，使得很多通用教材在涉及初等数学的地方一笔带过.学生如果在之前并未系统学习过这方面的内容，将会无所适从.笔者从个人的教学经验出发，仅举两例加以说明.

第一个例子是在刘名生等编著的《数学分析（三）》中的一道习题，这个题目的证明需要使用n次单位根的性质，而中学数学里面有关复数的内容已经做了大量缩减，大多数学生对此知识是一片空白的，此处需要教师做些补充.

第二个例子是正割和余割这两个三角函数，很多同学对此一无所知，尽管其概念五分钟就可以解释清楚，但有关这两个三角函数的一些三角变换公式学生并不熟悉，而这些公式在求导数、换元法求积分中都要经常用到，因此，需要详细补充.

此外，还有很多需要在教师教学过程中强化或补充的内容，比如，反三角函数及其定义域和值域，这些内容在求导数和求积分时都是常用到的，需要对学生进行一个系统的强化;再比如，极坐标变换和参数方程，这些知识在中学阶段以选修形式出现，并且应用不多，大多数学生对此部分并不熟悉，极坐标变换在重积分的计算中经常用来作坐标变换来简化积分区域，而参数方程在求曲线弧长、曲线积分中经常用到.

二、作为引例的初等数学

曲线的切线斜率和曲边梯形面积是经常用的从初等数学引入概念导出导数和定积分的两个例子，这两个例子可以很好地体现初等数学过渡到高等数学的必要性.

圆的切线斜率是初等数学的一个重点，也是我们引入曲线的切线斜率问题的出发点，由此出发，从学生熟知的结论入手，进而得出更为一般的曲线的切线，其斜率归结到一个增量比的极限，从而得到导数的概念，学生容易理解，我们在数学分析中是把切线的概念推广，得到应用更为广泛的导数，从而解决了初等数学中无法解决的曲线的切线斜率问题，知识层次上是初等数学的一个升华.

规则平面图形的面积是初等数学的基础知识，从长方形或梯形的面积出发，引出了一般平面图形的面积的计算问题，进而导出了定积分的概念.

此外，将数列前n项和的概念推广到无穷项和就得到级数的概念，高中数学中比较重要的无穷递缩等比数列的和可以作为数项级数的引例，从而得到重要的等比级数的概念.将多项式作为引例可以得到幂级数，将三角函数进行推广得到三角级数和傅立叶级数，等等，这样的例子还有很多.

使用初等数学的知识作为引例，容易使学生进入状态，知识上更为连贯.更为重要的是，学生从初等数学过渡到数学分析，更容易理解数学分析解决初等数学知识的便捷性和重要性.

本文讨论了从初等数学到数学分析的过渡问题，主要关注的是如何在现有初等数学知识基础之上，帮助学生顺利学习和理解数学分析的知识体系和内容.从初等数学的知识入手，可以加深对中学数学概念和定义的理解，解决中学数学问题，同时，可以更为自然地过渡到数学分析的学习和理解上，使学生学习得更为轻松和自然.当然，数学分析的重点并不是解决一些计算问题，而是对一些逻辑推理和思想方法的理解，从初等数学过渡到数学分析，也可以帮助学生对这些内容的理解.

【参考文献】

[1]刘名生，尹景学.数学分析（三）[M].北京：科学出版社，2009.