关注方法本质 提高运算能力*——基于解析几何复习的思考与解题策略透视

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(杭州高级中学,浙江 杭州 310003)

解析几何是考查学生数学思维能力与数学运算能力的重要内容之一，也是高考一直来重点考查的内容，这一内容在高考中有着很好的区分度.解决解析几何问题，需要将代数方法与几何图形完美结合.在此过程中，无论使用哪一种方法，都面临两个问题：一是方法中蕴含的数学思想；二是运算中体现的技巧能力.对这两者的认识不足，是绝大多数学生解题半途而废的根源.因此，对解析几何问题的思路分析、运算技巧等方面的研究有着重要的意义.如何更好地掌握这一部分知识，更有效地解决这一类问题，值得去探索、去研究.以下就此谈谈解析几何问题的思考与解决策略.

1 注重概念落实，重视定义特征

许多圆锥曲线问题都具有比较典型的几何特征，因此我们常说解析几何首先是几何问题，特别是圆锥曲线的定义，体现了圆锥曲线的本质.对一些具有典型定义特征的解析几何问题，毫无疑问地可以联想到定义的应用，通过定义及相应的知识解决问题.这对加快解题速度、提高解题正确率无疑是一种重要的解题策略.

图1

( )

解设双曲线的左焦点为F1，|BF|=t，则

|AF|=4t,

由定义得 |AF1|=2a+4t， |BF1|=2a+t.

在△AF1F和△BF1F中，根据余弦定理得

即

两式相减得

12at=10ct,

( )

(2010年全国数学高考卷Ⅱ理科试题第12题)

思路分析该题与例1虽然一个是双曲线、一个是椭圆，但同属圆锥曲线且题型结构类似，设左焦点F1并联结AF1和BF1，结合定义与余弦定理，同样可顺利解决.答案为B.

评注该方法紧扣定义，思路简捷，只需根据题意构造焦点三角形.该方法对于解决这类问题有一定的通用性.

2 抓住题型结构，重视运算过程

正确的解题思路不一定就能得到问题的正确结果，思路正确仅仅是解题的一个方面，运算能力与运算技巧等综合能力才是优秀学生需要具备的.培养运算能力、掌握一定的运算技巧对解决解析几何问题尤其重要，加强运算训练、提升运算能力、掌握运算技巧也是解决这类问题的重要策略[1].

图2

1)求椭圆的离心率；

2)已知a=2，四边形ABCD内接于椭圆，AB∥DC，记直线AD,BC的斜率为k1,k2,求证：k1k2为定值.

由题意得椭圆方程为

因为AB∥DC，所以

从而直线CD的方程为

与椭圆方程联立得

x2-2mx+2m2-2=0,

从而

x1+x2=2m，x1x2=2m2-2,

算到这里，许多学生运算受阻，发现韦达定理只能代入一部分，无法继续算下去.其实我们可以这样思考，首先题目中要证明的是定值，那么最后结果肯定是定值，可以先把能代入的先代入，进一步进行化简，根据化简后的式子进行分析即可.由韦达定理得

为了证明它是定值，只要把分子、分母往同一个方向化简即可，分子用x1=2m-x2代入可得

图3

2)设直线AD,CD的斜率分别为k1,k2，若k1∶k2=2∶1，求k的值.

思路分析第2)小题中直接写出k1,k2，并代入k1∶k2=2∶1可得.思路简单明了，但具体运算同样需要运算能力来保证.具体如下：

设C(x1,y2)，D(x2,y2)，则

代入k1∶k2=2∶1,得

(1)

(4+k2)x2+2kx-3=0,

算到这里，不少学生无法继续下去，原因是式(1)无法使用韦达定理.如果换个角度，想办法代入椭圆方程，就可以使问题迎刃而解.

(2)

式(1)两边平方得

把式(2)代入得

即

3x1x2+5(x1+x2)+3=0.

利用韦达定理可得

3k2-10k+3=0,

从而

即

8kBDk2=-1.

又

于是

利用韦达定理可求出k=3，不需要检验.

另外，在解析几何问题的解决中，还可以用特殊位置来验证结果的正确性，比如例3中直线CD过原点时可很快验证结果的正确性，确保万无一失.

3 把握全局观念，重视横向联系

椭圆、双曲线与抛物线统称圆锥曲线，它们之间有着许多关系及共同的性质，这对学习解析几何有着重要的意义.如对抛物线y2=2px(其中p>0)，过原点O的两条互相垂直的直线OA和OB交抛物线于点A,B，则直线AB必过定点(2p,0).这个性质可以推广到过抛物线上任意一点的性质：

图4

例5如图4，已知P(x0,y0)是抛物线y2=2px(其中p>0)上一定点，过点P作两条互相垂直的直线PA,PB，交抛物线于点A,B，求证：直线AB过定点，并求这个定点.

分析如果设PA,PB的直线方程，虽然可以求出点A,B的坐标，但运算会比较复杂.如果用设点法解决，就会比较简单.

解设A(x1,y1)，B(x2,x2)，可得

又PA⊥PB，得

即

即

所以 (y1+y2)y= 2px+y1y2=

即 (y1+y2)(y+y0)= 2px-4p2-2px0=

2p(x-2p-x0),

故直线过定点(2p+x0，-y0).

图5

思路分析该题是过椭圆上一点B的两条相互垂直的直线与该椭圆相交的问题，可以求出点B,Q的坐标，运算过程可预见到联立方程后必定是一个不带常数项的二次方程，计算相对比较容易.也可以设直线PQ的方程，然后代入kBPkBQ=-1中.

(1+4k2)x2+16kx=0，

解得

从而

则

故直线PQ的方程为

即

另一种方法就是：设直线PQ的方程为y=kx+m，联立椭圆方程，运用韦达定理，然后由BP⊥BQ，得

可以得到m与k的关系，从而得证.

评注解析几何中，有各种同类的题组，很多性质是一系列的.在一种圆锥曲线中所具有的性质，往往在另一种圆锥曲线中也会有类似的结论，注意知识之间的横向联系，并进行纵向深化，这对形成知识体系有一定的帮助.

4 培养良好习惯，重视思想方法

解析几何主要研究两大问题，那就是曲线与方程问题，探究几何特征、注重方程思想是研究这类问题的主要内容.方程思想在浙江省数学高考中也多次用到，题意分析中蕴含思想方法，具体运算中体现数学能力.

图6

例7如图6,已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点,抛物线C:y2=4x上存在不同的两个点A,B满足PA,PB的中点均在C上.

1)设AB中点为M，证明：PM⊥y轴；

(2018年浙江省数学高考试题第21题)

分析第1)小题中，由于PA,PB具有相同的性质，因此可以用方程的思想来解决，即两个方程同一个形式，可以合二为一.第2)小题中，把|PM|,|AB|转化为关于y1,y2的代数式，再运用韦达定理，思维方向明确，但需要一定的运算能力才能完美解决问题[3].

于是y1,y2是方程y2-2by-b2+8a=0的两个根,可得

2)解△PAB的面积为

分析两条切线方程具有相同的形式，可以利用方程思想解决.

由于两条切线均过点M(xM,yM)，于是

评注这类问题既蕴含了数学思想，又体现了运算能力.只有全面分析、确定方法、熟练运算，才能得到正确的结果.

解析几何是高考的重点内容，同时也是学习的难点.有人认为是方法难找，也有人认为是运算太烦，笔者认为主要难点恰恰是两者的统一，思维分析给运算提供了方法，也给运算者增强了信心，而运算能力使正确的思维方法得到实现.只有两者完美组合，才能使解析几何问题得到真正解决.