“独立变量”的分类解析*

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(姜堰第二中学,江苏 泰州 225500)

一般地，若某变量m因另一变量n的变化而变化，则称此变量m为变量n的相关变量[1].相关变量可分为“函数”型相关变量、“方程组”型相关变量、“不等式(组)”型相关变量[2].若某变量m不因另一变量n的变化而变化，则称此变量m为相对于变量n的独立变量,独立变量有哪些情形呢？文章就此做一点思考，整理如下：

1 显性独立变量

若题目给出的两个变量之间具有很明显的独立关系，则可称之为一对显性独立变量.

解依题意,可设A(-1,0),B(1,0),C(cosα,sinα),D(cosβ,sinβ)(其中0≤α≤π，0≤β≤π)，则当sinβ≠0,即β≠0且β≠π时，

(cosα+1)(cosβ-1)+sinαsinβ=

cosαcosβ-cosα+cosβ+sinαsinβ-1=

sinβsinα+(cosβ-1)cosα+cosβ-1=

-1

从而

另外，当sinβ=0时，β=0或β=π.当β=π时，

-2(cosα+1)∈[-4,0];

评注这是一道双变量问题，无法通过消元或减元降为一元问题，从而给解题带来了难度.教师的讲解思路是：先设α为常量，β为变量，在以β为主元的假设下进行减元，然后再以α为主元求得最值.这样的讲解充分体现了数学中“动亦是静，静亦是动”的变量观，但学生仍“丈二和尚摸不着头脑”，不能理解.实际上，由于α,β是一对显性独立变量，因此α,β互不干涉，α的动与不动和β无关，这才是对“动静互化的变量观”最好的解释.

分析显然，这里的4个变量a,b,c,d是两两相互独立的显性独立变量，任何两者之间都没有依存关系，难度更大.

解由

得 (a-c)2+(b-d)2≥(m-2)(ac+bd)+mbc,

从而

a2+b2+c2+d2≥m(ac+bc+bd).

显然当ac+bc+bd>0时，m能取到最大值,于是

即

所以

故

评注此题须借助3个基本不等式解题，根据“ac,bc,bd前的系数要一样”这一条件进行了上述拆分.当然，由于a,b,c,d是两两相互独立的显性独立变量，其取值是完全随意的，因此可以根据不同题目的要求进行合理地拆分，以达到解题的目的.

2 隐性独立变量

若题目给出的两个变量之间的独立关系不是很明显，则可称之为一对隐性独立变量.在解题时，若能发现并充分利用隐性独立变量，则可大大简化某些试题的解题过程.

分析题中含有动点P(0,m)，但要求的是双曲线的离心率，从而动点P(0,m)与离心率应该是一对独立变量，即离心率与点P的位置无关，属解析几何中的“动中有定”问题.为了降低运算的难度，可对变量m适当赋值.

同理可得

设AB的中点为C,则点C的坐标为

由PA=PB,可得PC⊥AB,从而

于是

2a2=3b2,

故

说明有读者可能会说：例3和例4的解法实质上就是常用的特殊化法(或特值法).确实不错，就是特殊化法(或特值法)，此解法在解决某些难题中发挥了不小的作用，深得广大师生喜爱，但是为什么能这样用呢？其背后真正的理论依据是什么？可能好多读者只知其一不知其二，其实问题的本质和真正的理论依据就是隐性独立变量.

3 假性独立变量

若题目给出的两个变量之间表面上是独立的，但实质上却是相关的，可称之为一对假性独立变量.由于假性独立变量比较隐蔽，若不能正确理解，则极易导致解题错误，而且很难发现.在解题时，若能发现假性独立变量，则可大大降低此类试题的错误率.

例5已知函数

若a,b,c,d是互不相等的实数，且f(a)=f(b)=f(c)=f(d)，则a+b+c+d的取值范围为______.

图1

错解作出函数f(x)的图像(如图1)，由于f(a)=f(b)=f(c)=f(d)，可做一条直线y=t与f(x)的图像交于4个点.通过图像可得

-1

则

3

评注此题有4个量a,b,c,d，其中由三角函数的对称性可得b+c=2，结合指数、对数函数的单调性可得

-1

由同向不等式的可加性得

3

天衣无缝，可却是错的！问题出在哪？

解法1依题意，可设

则

a+d=-log2(t+1)+2 015t+1.

设

g(t)=-log2(t+1)+2 015t+1,则

从而g(x)在(0,1)上单调递增, 于是g(x)∈(2,2 015),故4

解法2(极限思想)若a=-1,则d=2 016；若a=0,则d=2，从而

2

于是

4

评注前面的错解在得出-1

例6已知在锐角△ABC中，边a,b,c所对应的角分别为A,B,C，∠ACB=60°，CD⊥AB于点D，且CD=3，试求ab的取值范围.

由余弦定理得

c2=a2+b2-2abcos 60°=a2+b2-ab,

从而

即

ab≥12.

评注错解1由基本不等式只能得出最小值，而最大值是无法求出的，另锐角这一条件还没用到，不可能趋向正无穷.错解2把a,b看成两个独立的变量，求出各自的范围后，由同向不等式相乘得到ab的取值范围，而由错解1知道ab的最小值为12，很明显范围变大了.

从而

于是

ab∈[12,18).

高中数学研究最多的是变量，而变量之间的关系错综复杂，令人眼花缭乱，好多师生为之所困.笔者斗胆将变量分为“独立变量”与“相关变量”，再针对“独立变量”与“相关变量”各自进行分类.当然，个人的考虑毕竟肤浅，不够全面，希望感兴趣的读者对此问题进行更深入的研究.