对2018年高考全国卷两道解析几何题的思考*

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(福州第二十四中学,福建 福州 350000)

2018年全国数学高考卷Ⅰ和卷Ⅲ中有两道试题，可以用同一种方法进行解答，并且用这种方法还可以对试题作进一步研究.本文介绍这种应用参数坐标的方法解答解析几何有关问题，它可减少设参个数，解题思路明确，解法简捷，值得重视.

1)当l⊥x轴时，求直线AM的方程；

2)设O为坐标原点，证明：∠OMA=∠OMB．

(2018年全国数学高考卷Ⅰ理科试题第19题)

1)略.

展开并应用两角和公式和倍角公式得

注意到α≠β，得

(1)

另外，直线MA,MB,MO的斜率分别为

从而

由式(1)，得

tan∠OMA-tan∠OMB=0,

即

∠OMA=∠OMB.

应用完全类似的解法，可得更为一般的命题：

证明依题意设A(acosα,bsinα)，B(acosβ,bsinβ)，其中a≠β,点A在x轴上方，点B在x轴下方，且知F(c,0).由点A,F,B共线，得

展开并应用两角和公式和倍角公式得

注意到α≠β，得

(2)

另外，直线MA,MB,MO的斜率分别为

从而 tan∠OMA-tan∠OMB=

由式(2)，得

tan∠OMA-tan∠OMB=0,

即

∠OMA=∠OMB.

(2018年全国数学高考卷Ⅲ理科试题第20题)

即

即

于是

得

即

2(2-cosθ)=3.

同理可得 |FA|=2-cosα, |FB|=2-cosβ,

于是 |FA|+ |FB|=2-cosα+2-cosβ=

4-(cosα+cosβ)=4-1=3,

因此

2|FP|=|FA|+|FB|，

下面求此等差数列的公差d.

由上可以得到

式(3)2+式(4)2,并应用两角差的公式得

式(3)2-式(4)2,并应用三角有关公式得

于是

注解完本题之后，可以对本题进一步研究，得到更为一般的命题：

a(cosθ+cosα+cosβ)=3c.

(5)

由于线段AB的中点M在直线x=c上，可设M(c,m)(其中m>0)，则

a(cosα+cosβ)=2c,

cosα+cosβ=2e,

(6)

由式(5)与式(6)得到

cosθ=e.

又由焦半径|FA|=a-ccosα,|FB|=a-ccosβ,|FP|=a-ccosθ,可得

|FA|+|FB|= 2a-c(cosα+cosβ)=

因此

|FA|+|FB|=2|FP|,

下面，求其公差d.

由线段AB的中点M在直线x=c上，可知

于是，由cosθ=e得

(7)

由式(6)与式(7)两边分别平方后相加,并整理得

由式(6)与式(7)两边分别平方后相减,并整理得

从而

于是

在高考的解析几何试题中，可应用上述解题方法的例子还很多，读者不妨试试.