高考数列复习备考要点例析*
2019-04-15
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(慈中书院，浙江 慈溪 315300)
●黄国员
(慈溪市教育局教研室，浙江 慈溪 315300)
1 知识内容
《浙江考试》2019年第1期公布了“2019年浙江省普通高考考试说明(数学)”，明确2019年高考必考科目数学考试说明内容与2017年相同．关于数列与数学归纳法部分，建议关注以下内容与要求：
1)了解数列的概念和表示方法(列表、图像、公式)；
2)理解等差数列、等比数列的概念，掌握等差数列、等比数列的通项公式与前n项和公式及其应用；
3)了解等差数列与一次函数、等比数列与指数函数的关系；
4)会用数列的等差关系或等比关系解决实际问题；
5)会用数学归纳法证明一些简单的数学问题.
2 命题分析
分析2004—2018年这15年的浙江省数学高考“数列部分”的命题，考查内容、试题位置编排(难度)、分值等有一些共同点：单纯考查数列的试题，一般解答题1道，选择或填空题也1道，难度会合理搭配，若解答题压轴，则选择题或填空题会简单些；若解答题难度中等，则选择题或填空题会出压轴题.分值一般在20分左右，可以与数学文化及其他知识相结合考查，涉及数列概念、基本运算与证明.最近两年(已文理科不分)关于数列部分的考查分析如下：
2017年考查了两道题，共19分：其中一道选择题4分(以等差数列为载体考查充要条件的概念，难度中等)、一道解答题15分(考查数列与不等式、不等式放缩、数学归纳法，是压轴题)；
2018年考查了两道题，共19分：其中一道选择题4分(考查等比数列的概念与本质、数列单调性、数列与不等式，是压轴题)，一道解答题15分(考查等差数列、等比数列的基本概念，求和的常用方法，数学运算的核心素养，难度中等)．
2019年预测会有2～3个试题，分值在20分左右：若解答题位于第20题，估计难度中等，有一定的运算量，涉及基本量计算、等差(等比)数列证明、数列求和、简单的数列与不等式证明，此时在选择题或填空题必有1～2题考查数列的其他知识，难度是压轴题或再加一个简单题；若解答题位于第22题(压轴题)，难度大，涉及数列递推、数列与不等式、数学归纳法，从整卷考虑，则在选择、填空题中会有简单的数列题与压轴题搭配，主要涉及基本量计算、等差数列、等比数列的概念.
3 典例剖析
考点1等差(等比)数列的概念与本质.
例11)已知数列{an}的前n项和是Sn,则下列4个命题中，错误的是
( )
C.若数列{an}是等差数列，则数列的奇数项、偶数项分别构成等差数列
D.若数列{an}的奇数项、偶数项分别构成公差相等的等差数列，则{an}是等差数列
(2017年浙江省诸暨市高中毕业班教学质量检测数学试题第5题)
2)已知a1，a2，a3，a4成等比数列，且a1+a2+a3+a4=ln(a1+a2+a3).若a1>1，则
( )
A.a1 C.a1 (2018年浙江省数学高考试题第10题) Sn=na1+n(n-1)d， 则当n≥2时，an=Sn-Sn-1=a1+2(n-1)d， 即数列{an}是公差为2d的等差数列.故选B. 对于选项C，若数列{an}是公差为d的等差数列，则数列的奇数项、偶数项都是公差为2d的等差数列，故选项C正确. 对于选项D，若数列{an}的奇数项、偶数项分别构成公差相等的等差数列，则{an}不一定是等差数列，如：1,4,3,6,5,8,7，选项D错误．故选D． 2)由a1+a2+a3+a4=ln(a1+a2+a3)的结构，想到对数放缩最常用的公式lnx≤x-1，从而 a1+a2+a3+a4= ln(a1+a2+a3)≤a1+a2+a3-1， 得a4≤-1，于是公比q<0． (反证法)若q≤-1，则 a1+a2+a3+a4=a1(1+q)(1+q2)≤0， 而 a1+a2+a3=a1(1+q+q2)≥a1>1， 即 ln(a1+a2+a3)>0, 矛盾，从而-1 a1-a3=a1(1-q2)>0, a2-a4=a1q(1-q2)<0. 故选B． 评注证明数列{an}是等差(等比)数列的两种基本方法：定义法和等差(等比)中项法.这两种方法在解答题中比较常见，在选择题与填空题也可用.要挖掘教材，掌握教材中一些经典结论，如当x>0时，有lnx 考点2等差数列与等比数列中的基本量运算. 例21)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，则下列结论一定成立的是 ( ) A.若a5>0，则a2 017<0 B.若a6>0，则a2 018<0 C.若a5>0，则S2 017>0 D.若a6>0，则S2 018>0 (浙江省金华十校2017学年第一学期高三期末调研数学试题第6题) (浙江省宁波市2018年数学高考模拟考试第15题) 分析1)选项A中，若a5>0，则 a2 017=a5q2 012>0， 选项A错误. 选项B中，若a6=a1q5>0，则 a2 018=a1q2 017>0， 选项B错误. 选项D中，a6=a1q5>0．当a1>0,q=1时， S2 018=2 018a1>0； 2)设等差数列{an}的公差为d，a1=2，则 评注等差(等比)数列的基本运算，一般通过其通项公式及前n项和公式建立关于a1和d或q的方程或方程组解决.注意利用等比数列前n项和公式求和时，不可忽视对公比q是否为1的讨论.另外，了解与掌握一些数列中的小结论，对提高解题速度和正确率大有益处. 考点3数列单调性与充要条件. 例31)等比数列{an}中，a1>0，则“a1 ( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 (浙江省诸暨市2017学年第一学期高三数学期末考试第5题) 2)记Sn为数列{an}的前n项和，“任意正整数n，均有an>0”是“{Sn}为递增数列”的 ( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 (浙江省宁波市2018年数学高考模拟考试第5题) 分析1)在等比数列中,设公比为q，则由a1 2)由an>0,知数列{Sn}是递增数列，反之数列{Sn}是递增数列不能得到an>0，即“an>0”是“数列{Sn}是递增数列”的充分不必要条件．故选A． 评注这类试题主要考查充要条件的判断以及等差数列、等比数列的概念与性质，考查逻辑推理能力，能推得出的需要证明，推不出的只需找到反例. 考点4数列与数学文化. 例4《九章算术》是我国古代著名的数学著作，其中有一道数列问题：“今有良马与驽马发长安，至齐，齐去长安三千里.良马初日行一百九十三里，日增一十三里，驽马初日行九十七里，日减半里，良马先至齐，复还迎驽马，问几日相逢及各行几何？”请研究本题，并给出下列结果：两马同时出发后第9天，良马日行______里，从长安出发后第______天两马第一次相遇. (稽阳联谊学校2018年4月高三联考数学试题第13题) a9=a1+8d1=297. 设两马经过n天相遇，则 整理得 293n2-3n-6 000=0. 令f(n)=293n2-3n-6 000，则 f(15)<0,f(16)>0, 从而n∈(15,16)，即出发后第16天两马相遇. 评注这类试题以数学文化为载体考查等差数列、等比数列的概念、通项公式、基本性质、前n项和，考查的核心素养是数学运算.解决这类试题的关键是读懂题目意思. 考点5数列性质、数列与不等式综合考查. 例5已知公差为d的等差数列{an}前n项和为Sn.若存在正整数n0，对任意正整数m，Sn0·Sn0+m<0恒成立，则下列结论不一定成立的是 ( ) A.a1·d<0 B.|Sn|有最小值 C.an0·an0+1>0 D.an0+1·an0+2>0 (浙江省名校协作体2018学年第一学期联考数学试题第9题) 分析已知公差为d的等差数列{an}，若存在正整数n0，对任意正整数m，Sn0·Sn0+m<0恒成立，则a1与d异号，即a1·d<0，|Sn|有最小值，从而 an0·an0+1<0，an0+2·an0+1>0, 选项C不正确．故选C． 评注累加、累乘是课本中求等差(等比)数列通项方法的推广.给出数列的递推关系求通项时，通常利用代入法、整体换元法等求解，不必考虑特殊技巧.常见解决数列与不等式的方法有：用数学归纳法验证；构造函数，先证明函数单调性，再判断数列单调性；数形结合，画图验算(小题小做). 考点6解答题中的简单计算与不等式证明. 1)求数列{an}的通项公式； (浙江省衢州、湖州、丽水三地市2018年9月高三教学质量检测数学试题第20题) 于是 当n≥2时， 当n=1时上式也成立,故命题成立. 评注对于数列{an}，an和Sn有关系 这是一种重要的关系，是已知Sn求通项an的常用方法.首先利用Sn“复制”出Sn-1，两式相减求出an.简单的数列不等式证明，求解的关键在于放缩. 考点7解答题中的双求问题(求通项、求和). 例7已知正项数列{an}的前n项和为Sn，Sn=a1(an-1)，其中n∈N*. 1)求数列{an}的通项公式； 分析1)当n=1时， a1=a1(a1-1)， 又an>0，从而a1=2. an=a1(an-an-1)， 又a1=2，得 an=2(an-an-1)， 即 an=2an-1(其中n≥2)， 因此数列{an}是以2为首项、2为公比的等比数列，故an=2×2n-1=2n. 2)由于 yn=log2(an+1)2=2n+2, 当n为偶数时， Tn=x1y1+x2y2+x3y3+x4y4+…+xn-1yn-1+xnyn= y1+2y2+y3+2y4+…+yn-1+2yn= (y1+y3+…+yn-1)+2(y2+y4+…+yn)= 当n为奇数时，n-1为偶数，则 Tn=Tn-1+xnyn=Tn-1+yn= 从而 考点8解答题中的数列压轴题突破. 1)证明：|an|≥2n-1(|a1|-2)； (2016年浙江省数学高考理科试题第20题) … 累加得 即 从而 |an|≥2n-1(|a1|-2). … 累加得 即 从而 于是 只需|ak|-2≤0，因为这里的k可以取任意正整数，所以|ak|≤2. 1.已知等比数列{an}的公比为q,a1>0,前n项和为Sn,则“q>1”是“S4+S6>2S5”的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 (浙江省绍兴市柯桥区2018届高三数学适应性考试第5题) 2．已知数列{an}满足a1=1，an+1-an≥2(其中n∈N*)，Sn为其前n项和，则 ( ) A．an≥2n+1 B．an≥2n-1 C．Sn≥n2D．Sn≥2n-1 (浙江省台州市2017学年第一学期高三数学期末考试第5题) 3.设实数b,c,d成等差数列，且它们的和为9，如果实数a,b,c是公比不为-1的等比数列，则a+b+c的取值范围为 ( ) (浙江省“七彩阳光”联盟2018届高三上学期期初数学联考试题第10题) 4．已知a1，a2，a3，a4成等比数列，且a1+a2+a3+a4=(a2+a3+a4)2，若a4>1，则 ( ) A.a1>a2，a3>a4B.a1>a3，a2 C.a1 5．已知数列{an}为等差数列，其前n项和为Sn，且2a1+3a3=S6，给出以下结论： ①a10=0；②S10最小；③S7=S12；④S19=0，正确的有______. (浙江省镇海中学2018学年第一学期数学期中考试第16题) 6.设数列{an}满足an+1=2(|an|-1)(其中n∈N*)，若存在常数M>0，使得对于任意的n∈N*，恒有|an|≤M，则a1的取值范围是______． (2018学年第一学期“9+1”高中联盟数学期中考试第17题) 1)求{bn}的前n项和Sn及{an}的通项公式; (浙江省名校协作体2018学年第一学期数学联考试题第20题) 8.设各项为正项的数列{an}，其前n项和为Tn，a1=2，anan+1=6Tn-2． 1)求数列{an}的通项公式； 2)若bn=2n，求数列{|an-bn|}的前n项和Sn． (2018学年第一学期“9+1”高中联盟数学期中考试第20题) 参考答案 1.C 2.C 3.C 4.B 5.①③④ 6.-2≤a1≤2 由a1=3得an>0，两边取对数得 log2(an+1+1)=log2(an+1)2=2log2(an+1), 即 bn+1=2bn. 又 b1=log2(a1+1)=2≠0， 知{bn}是以2为公比的等比数列，即bn=2n,从而 Sn=2n+1-2, 由bn=log2(an+1)，知an=22n-1. 2)证法1(数学归纳法) ②假设当n=k≥2时，不等式成立，则当n=k+1时， 故当n=k+1时，不等式成立. 综上可得：对一切n∈N*，n≥2,命题成立. an+1(an+2-an)=6an+1(其中n∈N*). 因为an>0，an+2-an=6，所以数列{a2n-1}和数列{a2n}都是公差为6的等差数列.又a1=2，a1a2=6T1-2，得a2=5，从而 a2n-1=2+6(n-1)=6n-4=3(2n-1)-1， a2n=5+6(n-1)=6n-1=3·2n-1， 故 an=3n-1. 2)因为当n≤3时，an-bn≥0，所以 Sn= |a1-b1|+|a2-b2|+…+|an-bn|= (a1+a2+…+an)-(b1+b2+…+bn)= 当n≥4时， bn-an= (1+1)n-(3n-1)≥ 从而Sn= |a1-b1|+|a2-b2|+|a3-b3|+|a4- b4|+|a5-b5|+…+|an-bn|= (a1-b1)+(a2-b2)+(a3-b3)-(a4- b4)-(a5-b5)-…-(an-bn)= [2(a1+a2+a3)-(a1+a2+…+an)]- [2(b1+b2+b3)-(b1+b2+…+bn)]= 2(a1+a2+a3)-(a1+a2+…+an)- 2(b1+b2+b3)+(b1+b2+…+bn)= 因此
4 精题集萃
