积分二阶非完整系统动力学方程的势积分方法

张 毅

（苏州科技大学 土木工程学院，江苏 苏州215011）

非完整约束系统的积分理论和方法是分析力学研究的一个重要方面。完整保守系统许多行之有效的积分方法，当应用于非保守或非完整约束系统时，遇到了严重困难，有些即使能用，却有着极其严格的限制[1-2]。因此，必须寻求新的积分方法。Arzanyh 提出的势积分方法[3]，其基本思想是将约束力学系统的运动微分方程组的求解问题归为求偏微分方程的完全积分。梅凤翔和吴惠彬[4-7]将势积分方法应用于完整非保守系统、一阶非完整系统和广义Birkhoff 系统。随着自动控制理论和机器人动力学的发展，需要研究二阶或更高阶非完整约束系统动力学[8-10]。例如，由于快速精确动作和力平衡的要求，以及实时控制和伺服技术的结合，使机器人动力学系统含有高阶非完整约束。关于二阶非完整约束系统的积分方法已有一些研究[11-14]。文章进一步将势积分方法应用于积分二阶非完整系统。

1 二阶非完整系统的动力学方程

研究二阶非完整力学系统，其位形由n个广义坐标qs（s=1，2，…，n）确定，受有g个二阶理想非完整约束

约束（1）是对系统中质点的加速度的限制。按照加速度空间的虚位移概念[2]，约束（1）加在虚位移上的条件为

Gauss 原理的广义坐标形式为[2]

由Gauss 原理（3）和虚位移方程（2），利用Lagrange 乘子法，得到

方程（4）是二阶非完整系统的Routh 型动力学方程。若系统非奇异，则可在方程（4）积分之前，由方程（4）和方程（1）解出约束乘子λβ作为的函数[2]。将λβ代回方程（4）后展开方程，得到

设当t=t0时，系统的广义坐标qs0，广义速度和广义加速度满足约束方程（1），即

则方程（5）的解给出二阶非完整约束系统（1）和（4）的运动。

其中

2 势积分方法对二阶非完整系统的应用

下面介绍如何应用势积分方法[4-5]求得二阶非完整约束系统（1）和（4）的运动。

假设方程（7）有第一积分

则有

令

作Legendre 变换

其中ψ=ψ（t，ξν），则有

将式（11）、（13）和（14）代入方程（10），得到

方程（15）是关于ψ 的一阶偏微分方程，称之为势积分方法的基本偏微分方程。如果能找到方程（15）的一个完全解

则由式

可解得ξμ，并代入式（13），即得到方程（7）的解

其中cμ、bμ和dμ是积分常数，dμ由cμ和bμ确定。

实际上，将式（13）和（11）分别对时间t求导数，可得

将式（10）对aμ求偏导数后代入式（20），得到

将式（21）代入方程（19），得到

将式（15）对ξμ求偏导数后代入式（22），得到

这是方程（7）。其次，由于

将式（21）代入式（23），并利用式（13），得

积分之，得到式（17）。因此，方程（7）有解（18）。

应用势积分方法求解二阶非完整系统的基本步骤：

（1）建立运动微分方程。列出Routh 型方程（4），由方程（1）和（4）解出并消去约束乘子得到方程（5），将其化为一阶形式（7）。

（2）建立基本偏微分方程并求解。列出偏微分方程（15），求其完全解ψ=ψ（t，ξν，cν）。

（3）计算得到方程（7）的解。将ψ 代入方程（17）解得ξμ，将ψ 代入方程（13）解得aμ并消去ξμ得到aμ=aμ（t，dν）。

（4）回到广义坐标下，并施加二阶非完整约束对初始条件的限制（6），从而得到系统的运动方程。

3 算例

设力学系统的Lagrange 函数为

其运动受到二阶理想非完整约束[12]

试用势积分方法求解此非完整系统动力学问题。

首先，建立系统的运动微分方程。由Routh 方程（4），得到

由方程（26）和（27）可解得

将式（28）代入式（27），得到

下面，用势积分方法来求解方程（30）。由方程（30），得到基本偏微分方程为

与方程（31）相应的特征方程为

方程（32）有积分

由方程（32）的第一和最后一项，并利用式（33），得到

积分之，得

由式（13），得

在广义坐标下，式（36）给出

4 结语

文章将势积分方法应用于二阶非完整系统。建立了非完整系统的Routh 型动力学方程（4），将其展开并化为一阶常微分方程组（7），利用势积分方法将由2n个方程构成的方程组（7）的求解问题归为求一个基本偏微分方程（15）的完全解。只要找到了完全解，便可方便地得到方程组（7）的解，进而当初始条件满足非完整约束方程（1）时就得到所论二阶非完整系统（1）和（4）的解。势积分方法可进一步推广应用于高阶非完整系统、广义经典力学系统和广义Hamilton 系统等。