函数与导数的综合应用测试题（A 卷）参考答案

一、选择题

1.C 2.A 3.D 4.B 5.A 6.B

7.B 8.D 9.D 1 0.B 1 1.A 1 2.B

二、填空题

1 3.(—∞，1] 1 4.(—∞，—3]

三、解答题

1 7.f "(x)=3x2+2(1—a)x—a(a+2)。

(2)因为曲线y=f(x)存在两条垂直于y轴的切线，所以关于x的方程f "(x)=3x2+2(1—a)x—a(a+2)=0有两个不相等的实数根。所以Δ=4(1—a)2+1 2a(a+2)＞0，即4a2+4a+1＞0，所以a≠—所以a的取值范围为

1 8.(1)当a=—1时，f(x)=—l nx+x2+3，定义域为 （0 ，+∞），则f "(x)=+x。由得0＜x＜1。所以函数f(x)的单调递减区间为(0，1)。

(2)因为函数f(x)在区间(0，+∞)上是增函数，所以f "(x)=+x+a+1≥0在(0，+∞)上恒成立，所以x2+(a+1)x+a≥0，即(x+1)(x+a)≥0在(0，+∞)上恒成立。

因为x+1＞0，所以x+a≥0对x∈(0，+∞)恒成立，所以a≥0，故实数a的取值范围是[0，+∞)。

1 9.(1)因为f(x)是二次函数且关于x的不等式f(x)≤0的解集为{x|—1≤x≤3，x∈R}，所以设f(x)=a(x+1)(x—3)=a x2—2a x—3a(a＞0)。

因为f(x)min=f(1)=—4a=—4，所以a=1，故函数f(x)的解析式为f(x)=x2—2x—3。

(2)因为g(x)=0)，所 以g "(x)=1+

令g "(x)=0得x=1或x=3。

当x变化时，g "(x)，g(x)的取值变化情况如表1：

表1

当0＜x≤3时，g(x)≤g(1)=—4＜0。又因为g(x)在(3，+∞)上单调递增，且—2 0—2＞25—1—2 2=9＞0，其中e5＞3，因而g(x)在(3，+∞)上只有1个零点。故g(x)在(0，+∞)上仅有1个零点。

2 0.(1)由已知得f "(x)=1)，则f "(1)=0。

而f(1)=l n1+所以曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为

由f "(x)=0，得0＜x＜或x＞1；

由f "(x)=0，得

所以f(x)的单调递增区间为和(1，+∞)，f(x)的单调递减区间为

设h(x)=，则h "(x)=

由h "(x)＞0得，所以h(x)在上单调递增；

由h "(x)＜0得，所以h(x)在，+∞）上单调递减。

所以h(x)的最大值为，所以，故

从而实数a的取值范围为

2 1.(1)函数f(x)的定义域为(—∞，+∞)，且a≤0，f "(x)=2 e2x—aex—a2=(2 ex+a)(ex—a)。

①若a=0，则f(x)=e2x在(—∞，+∞)上单调递增。

②若a＜0，由f "(x)=0，得x=

故f(x)在上单调递减，在上单调递增。

(2)①若a=0，则f(x)=e2x≥0恒成立。

②若a＜0，则由(1)得，当x=时，f(x)取得最小值，最小值为

综上可知，实数a的取值范围是

2 2.(1)由f(x)=l nx得f "(x)=，函数f(x)的图像在点(1，f(1))处的切线的斜率为f "(1)=1，切线方程为y—0=x—1，即y=x—1。由已知得它与g(x)的图像相切，将y=x—1代入得x—1=x2—b x，即x2—(b+1)x+1=0，所以Δ=(b+1)2—2=0。解得b=±—1，即实数b的值为±—1。

(2)h(x)=f(x)+g(x)=l nx+—b x，所以h "(x)=

根据函数h(x)在定义域(0，+∞)上存在单调减区间，所以∃x＞0，使得b＜0，即b＞x+，由于当x＞0时x≥2，所以b＞2。所以实数b的取值范围(2，+∞)。

(3)对于区间[1，2]上的任意实数x，有［1—b，2—b］。要使得对于区间[1，2]上的任意两个不相等的实数x1，x2，都有|f(x1)—f(x2)|＞|g(x1)—g(x2)|成立，f(x)是增函数，不妨设x1＞x2，则f(x1)＞f(x2)，问题|f(x1)—f(x2)|＞|g(x1)—g(x2)|，等价于—f(x1)+f(x2)＜g(x1)—g(x2)＜f(x1)—f(x2)，从而f(x1)—g(x1)＞f(x2)—g(x2)，且f(x1)+g(x1)＞f(x2)+g(x2)，即f(x)—g(x)与f(x)+g(x)都是增函数。又导数的几何意义是切线的斜率，得到|f "(x)|＞|g "(x)|，即＞|b—x|，于是，即，所以≤b≤2，即b的取值范围为