含绝对值的不等式的突破方法

■河南省西华县一高数学组 李五银 李松林

绝对值不等式问题的基本解题思路是：去掉绝对值符号，把它转化为一般的不等式求解。转化的方法一般有：(1)绝对值定义法，(2)平方法，(3)零点区域法。

例1 已知函数f(x)=|x+1|—|x—2|。

(1)求不等式f(x)≥1的解集；

(2)若不等式f(x)≥x2—x+m的解集非空，求实数m的取值范围。

解析：可以利用“零点分区间”法求解。

当x＜—1时，f(x)≥1无解；当—1≤x≤2时，由f(x)≥1得2x—1≥1，解得1≤x≤2；当x＞2时，由f(x)≥1得x＞2。所以不等式f(x)≥1的解集为{x|x≥1}。

(2)由f(x)≥x2—x+m得m≤|x+1|—|x—2|—x2+x，而|x+1|—|x—2|—x2+x≤|x|+1+|x|—2—x2+|x|=，当且仅当时，，所以实数m的取值范围为

方法总结：研究含有绝对值的函数问题时，根据绝对值的定义和几何意义，分类讨论去掉绝对值符号，转化为分段函数，然后利用数形结合解决是常用的思维方法。对于y=|x—a|—|x—b|或y=|x—a|—|x—b|型的函数最值问题利用绝对值三角不等式更方便，形如y=|x—a|+|x—b|的函数只有最小值，形如y=|x—a|—|x—b|的函数既有最小值又有最大值。此题关键在于利用“绝对值三角不等式”进行放缩转化，以及|x|≤x的用法。

例2 已知函数f(x)=|x—a|。

(1)若不等式f(x)≤2的解集为{x|1≤x≤5}，求实数a的值。

(2)在(1)的条件下，若不等式f(2x)+f(x+2)≥m对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围。

分析：(1)已知不等式f(x)≤2的解集为{x|1≤x≤5}，可根据不等式的解集与方程的根的关系求得实数a的值；(2)可利用“零点分区间”法求解。

解：(1)因为不等式f(x)≤2的解集为{x|1≤x≤5}，所以a应满足解得a=3。

(2)因为a=3，所以不等式f(2x)+f(x+2)≥m就是|2x—3|+|x—1|≥m，令g(x)=|2x—3|+|x—1|，则g(x)min≥m，而g(x)=|2x—3|+|x—1|=则g(x)在上单调递减，在上单调递增，所以，当时，g(x)取得最小值，且g(x)min=所以m≤

方法总结：“零点分区间”法是解决含有绝对值不等式的常用方法，此题也可以利用绝对值三角不等式来解决，即g(x)=|2x—，则当时，g(x)取得最小值。(注：当a＜b＜c时，f(x)=|x—a|+|x—b|+|x—c|，则当x=b时，f(x)的 值 最 小，f(x)min=|b—a|+|b—c|)