“探究四点共圆”课例的课堂实施

胡传和

受到自身思维局限性，很多学生容易出现理解不全面的问题，造成相关学习问题出现。结合学生的数学知识掌握情况，采取相对应的解决策略是非常有必要的。从相对应的课堂导入设计、课堂知识讲解等各个环节入手，完成相关内容的讲解，需要教师不断进行教学创新，采取由简到难的教学过程，使学生逐步接受并理解四点共圆问题。简化学生的理解，降低学习难度是提高学生学习热情和理解能力的关键。

一、借助三角形的外接圆引入新课

由于三角形是学生在以前数学学习过程中重点学习的一个图形，相对比较简单，而三角形的外接圆也是学生以前所接触过的。教师可以绘制不同形状的三角形，然后画出其外接圆，引导学生进行初步思考。不论是锐角三角形、直角三角形，还是钝角三角形，在绘制其外接圆的过程中都需要将三个顶点置于圆上，学生很容易发现这是三点共圆问题。为了更好地引出四点共圆，教师可以在圆上任意添加一个点，此时圆上就有了四个点，而如果将新添加的这个点与原有三角形的两点相连，圆内则出现一个不规则的四边形。这个四边形的形状具有多样化的特征，在不同的三角形和不同位置添加点的情况下，四边形的形状是有差异的。但是通过直观的观察，学生也很容易得到这个四边形的四个顶点都在圆上这一现象，即对四点共圆问题产生初步认识。例如教师可以引导学生先在纸上绘制三角形，然后画出三角形的外接圆，通过添加新的一点，连接新点与三角形，将原来的三角形转变成为不规则的四边形，从而让学生对四点共圆问题有初步了解，采取由易到难的形式，使学生认识到四点共圆问题的存在。

二、证明四点共圆

当学生对四点共圆问题有初步了解之后，教师可以通过例题的形式使学生对其有进一步认识，即教师可以列举相关题目，与学生共同完成四点共圆的证明问题。为了证明四点是否共圆，需要学生调动以前所学习过的相关几何知识，包括三角形的相关定理以及具体图形的相关内容。要引导学生证明四点共圆问题，教师可以发挥自身的引导性作用，通过设置问题的形式，启发学生从三角形自身的定理和性质出发，然后通过反证法，根据所学几何知识证明假设与已知条件矛盾，从而得出四点共圆这一结论，或其他证明方法正向证明。例如教师给出某一题目要求与具体图形，引导学生按照“把被证共圆的四点连成四边形，若能证明其对角互补或能证明其一个外角等于其邻补角的内对角时，即可肯定这四点共圆”这一原理完成证明过程。

三、验证四点共圆

当学生能够通过相关数学证明方法，结合自己所学的几何知识，证明某四点式共圆这一知识之后，教师应该组织学生从更高的角度来发现四点共圆问题，培养学生的数学思维，这也是探究四点共圆知识讲解过程中的重要内容。教师可以借助多媒体，利用PPT 的形式展示出相关图形，使学生有更加直观的认识。同时在具体内容的讲解过程中，教师也要注意启发学生，发挥学生作为学习主体的主观能动性，不要把所有的内容都由自己讲解。PPT 的形式比较直观，在观察的过程中，学生容易找到如何验证某四个点是否是共圆的这一问题。例如教师可以组织学生参与实训来验证四点共圆，根据已经条件，学生明确四点的位置信息，如果能够从被证共圆的四点中先选出三点作一圆，然后证另一点也在这个圆周上，就可以证明四点共圆。教师可以组织学生运用自己的圆规等数学工具，做出规范性强的圆，然后再运用基础几何知识证明。

四、课堂小结与启发思考

在课堂导入、课堂知识讲解完毕之后，学生对于四点共圆认识更加准确，对于如何进行四点共圆的证明也有了进一步了解。此时，教师需要进行课堂小结，通过小结的形式将本节课的知识点串接起来，使学生有全面概括性的认识。除此之外，结合学生数学能力提升和数学思维拓展的教学目标，教师也可以设置相对应的启发性问题来启发学生进行思考，使学生对如何证明多点共圆的方法及其应用有更加深刻的印象。比如，从圆的定义出发，证各点都与某一定点的距离相等；如果是证四点共圆，也可以先任意选出三点作一圆，然后证另一点也在该圆上；如果各点都在某两点所在直线的同侧，且各点对这两点的“张角”(其实是同弧所对的圆周角相等逆向使用)相等，那么这些点共圆；若能证明其对角互补或证明其一外角等于其邻补角的内对角，即可肯定这四点共圆；证明五个或五个以上的点共圆，可以分别证各四点共圆，且四点中有三点相同。

四点共圆问题是学生在学习与圆相关知识过程中需要掌握的一部分内容，通过这部分内容的学习，学生一方面可以温习自己以前所学习过的几何知识，另一方面在探究过程中，学生的数学思维也可以得以提升和拓展。对于学生在具体探究过程所出现的问题，教师应该结合知识点自身的情况，采取相对应的对策，避免学生由于知识性内容理解错误所产生的各种学习问题。